\[
G_1(s)G_2(s) = \frac{\Phi(s)}{1-\Phi(s)} = \frac{0.1s\left(\dfrac{s}{20}+1\right)\left(\dfrac{s}{50}+1\right)}{-\dfrac{s^3}{30000}+\dfrac{s^2}{750}+\dfrac{23s}{300}+1}
\]
故传递函数为
\[
G_1(s) = \frac{\dfrac{s}{50}+1}{-\dfrac{s^3}{30000}+\dfrac{s^2}{750}+\dfrac{23s}{300}+1}
\]
MATLAB 验证:按求出的 \(G_1(s)\) 和 \(G_2(s)\),可作出系统的闭环对数幅频特性,如图 5-118 所示。其折线化后的闭环对数渐近特性与图 5-117(b)基本一致。
图 5-118 系统闭环对数幅频特性(MATLAB)
MATLAB 文本:exe563.m
G1=tf([1/50,1],[-1/30000,1/750,23/300,1]);
G2=tf([0.1/20,0.1,0],1);
close=feedback(G1*G2,1);
bode(close);grid
5-64 已知系统结构图如图 5-119 所示,试用奈奎斯特判据判断闭环系统稳定时,\(a(a>0)\)的取值范围。
图 5-119 系统结构图
解 由系统的结构图可知,系统的开环传递函数为
\[
G(s) = \frac{5(s+1)}{s(s^2+2s-a)}
\]
则系统的开环频率特性为
\[
G(\mathrm{j}\omega) = \frac{5(\mathrm{j}\omega+1)}{\mathrm{j}\omega(-\omega^2+\mathrm{j}2\omega-a)}
\]
\[
= -\frac{5(a+2+\omega^2)}{(a+\omega^2)^2+4\omega^2} + \mathrm{j}\frac{5(a-\omega^2)}{\omega\left[(a+\omega^2)^2+4\omega^2\right]}
\]
开环幅相特性曲线的起点为 \(G(\mathrm{j}0_+) = -\dfrac{5(a+2)}{a^2}+\mathrm{j}\infty\),终点为 \(G(\mathrm{j}\infty)=0\)。
幅相特性曲线与实轴的交点:令 \(\mathrm{Im}[G(\mathrm{j}\omega)]=0\),解得