\[
p_2 = \frac{K_c K_4}{s(Ts+1)}, \qquad \Delta_2 = 1
\]
由梅森增益公式可得系统的传递函数为
\[
\Phi(s) = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\sum p_i \Delta_i}{\Delta} = \frac{K_c K_4 s + K_1 K_2 K_4}{s^2(Ts+1) + K_2 K_3 s(Ts+1) + K_1 K_2 K_4}
\]
则系统的误差函数为
\[
E_r(s) = R(s) - C(s) = [1-\Phi(s)] \cdot R(s)
\]
\[
= \frac{s^2(Ts+1) + K_2 K_3 s(Ts+1) - K_c K_4 s}{s^2(Ts+1) + K_2 K_3 s(Ts+1) + K_1 K_2 K_4} \cdot R(s)
\]
利用终值定理来求解系统的稳态误差,有
\[
e_{ssr}(\infty) = \lim_{s \to 0} sE_r(s) = \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{s^2(Ts+1) + K_2 K_3 s(Ts+1) - K_c K_4 s}{s^2(Ts+1) + K_2 K_3 s(Ts+1) + K_1 K_2 K_4} \cdot \frac{1}{s^2}
\]
\[
= \lim_{s \to 0} \frac{s(Ts+1) + K_2 K_3 Ts + (K_2 K_3 - K_c K_4)}{s^2(Ts+1) + K_2 K_3 s(Ts+1) + K_1 K_2 K_4}
\]
欲使系统在 \(r(t)=t\) 作用下无稳态误差,须有
\[
K_2 K_3 - K_c K_4 = 0
\]
则当 \(K_c = \dfrac{K_2 K_3}{K_4}\) 时,系统在 \(r(t)=t\) 作用下无稳态误差。
3-56 已知单位反馈的角度随动系统的开环传递函数 \(G(s) = \dfrac{K_1}{s(Js+F)}\),其中,\(J=200,F=1600\)。假设系统处于临界阻尼状态,输入 \(r(t)=a_m\sin\omega t\),\(a_m=34°\),\(\omega=1\),试求:(1) 系统稳态输出 \(c_s(t)\) 的摆动幅度 \(c_m\);(2) 系统稳态输出 \(c_s(t)\) 对输入 \(r(t)\) 的滞后时间 \(\tau\)。
解 根据题意可得系统的开环传递函数为
\[
G(s) = \frac{K_1}{s(Js+F)} = \frac{K_1/200}{s(s+8)}
\]
即
\[
\omega_n^2 = K_1/200, \qquad 2\zeta\omega_n = 8
\]
由于系统处于临界阻尼状态,则
\[
\zeta = 1, \qquad \omega_n = 4, \qquad K_1 = 3200
\]
则系统的闭环传递函数为
\[
\Phi(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)} = \frac{16}{s^2+8s+16}
\]
(1) 当输入为 \(r(t)=a_m\sin\omega t\) 时
\[
\Phi(j\omega) = \frac{16}{(16-\omega^2)+j8\omega}
\]
由于
\[
a_m = 34°, \qquad \omega = 1
\]
\[
|\Phi(j1)| = \frac{16}{\sqrt{15^2+8^2}} = \frac{16}{17}
\]
\[
c_m = 34° \times \frac{16}{17} = 32°
\]
故系统稳态输出 \(c_s(t)\) 的摆动幅度 \(c_m = 32°\)。
(2) 由于
\[
\Phi(j\omega)\big|_{\omega=1} = \frac{16}{15+j8}
\]
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