由 \(\dfrac{1}{|KG(\mathrm{j}1)|}=3\),则
\[K=\dfrac{1}{3\,|G(\mathrm{j}1)|}=\dfrac{50}{3}\]
① 当 \(r_1(t)=t^2\) 时,由于 \(v=2\),则
\[K_a=K=\dfrac{50}{3}\]
故稳态误差为
\[e_{ss1}(\infty)=\dfrac{2}{K_a}=0.12\]
② 对于单位反馈系统,误差传递函数为
\[\Phi_{er}(s)=\dfrac{1}{1+KG(s)}\]
则其频率特性为
\[\Phi_{er}(\mathrm{j}\omega)=\dfrac{1}{1+KG(\mathrm{j}\omega)}=\dfrac{1}{1+\dfrac{50}{3}G(\mathrm{j}\omega)}\]
当 \(\omega=\omega_x=1\) 时,
\[\Phi_{er}(\mathrm{j}1)=\dfrac{1}{1+\dfrac{50}{3}G(\mathrm{j}1)}=1.5\]
故当 \(r_2(t)=5\sin\omega_x t\) 时,稳态误差为
\[e_{s2}(\infty)=5\cdot|\Phi_{er}(\mathrm{j}1)|\sin(\omega_x t+0^\circ)=7.5\sin t\]
综上,输入为 \(r(t)=t^2+5\sin\omega_x t\) 时,系统的稳态误差 \(e_s(\infty)=0.12+7.5\sin t\)。
5-45 已知两个系统的开环传递函数分别为
(1) \(G(s)H(s)=\dfrac{K}{s(T_1s+1)(T_2s+1)}, T_1,T_2>0\); (2) \(G(s)H(s)=\dfrac{K(Ts+1)}{s^2}, T>0\)
试分析 \(K(K>0)\) 的变化对相角裕度的影响。
解 (1) 系统(1)的开环频率特性为
\[G(\mathrm{j}\omega)H(\mathrm{j}\omega)=\dfrac{K}{\mathrm{j}\omega(1+\mathrm{j}T_1\omega)(1+\mathrm{j}T_2\omega)}\]
\[=\dfrac{K}{\omega\sqrt{(1+T_1^2\omega^2)}\sqrt{(1+T_2^2\omega^2)}}\angle{-90^\circ-\arctan T_1\omega-\arctan T_2\omega}\]
由截止频率的定义可知
\[|G(\mathrm{j}\omega_c)H(\mathrm{j}\omega_c)|=\dfrac{K}{\omega_c\sqrt{(1+T_1^2\omega_c^2)}\sqrt{(1+T_2^2\omega_c^2)}}=1\]
即 \(\omega_c\) 是 \(K\) 的增函数。
由相角裕度的定义可知
\[\gamma=180^\circ+\varphi(\omega_c)=90^\circ-\arctan T_1\omega_c-\arctan T_2\omega_c\]
而 \(\arctan\omega_c\) 是 \(\omega_c\) 的增函数,故 \(\gamma\) 是 \(\omega_c\) 的减函数。
综上,\(\gamma\) 是 \(K\) 的减函数,即 \(K\) 增大时,相角裕度 \(\gamma\) 会减小。
(2) 系统(2)的开环频率特性为