\[K_d=\dfrac{2\times2}{1}=4\]
系统根轨迹图如图 4-169(a)所示。
(2) 绘制图 4-168(b)系统的广义根轨迹图。
闭环系统特征方程为
\[s^2+ps+4=0\]
又可表示为
\[1+p\dfrac{s}{s^2+4}=0\]
令等效开环传递函数为
\[G_1(s)=\dfrac{ps}{s^2+4}=\dfrac{ps}{(s+\mathrm{j}2)(s-\mathrm{j}2)}\]
开环零、极点:\(z_1=0,p_{1,2}=\pm \mathrm{j}2\)
实轴上根轨迹:\([0,-\infty)\)
分离点:由分离点方程
\[\dfrac{1}{d}=\dfrac{1}{d+\mathrm{j}2}+\dfrac{1}{d-\mathrm{j}2}=\dfrac{2d}{d^2+4}\]
解出 $\(d^2-4=0\)$
取 $\(d=-2\)$
分离点处根轨迹增益:由模值条件有
\[p_d=\dfrac{\sqrt{8}\times\sqrt{8}}{2}=4\]
系统广义根轨迹图如图 4-169(b)所示。
图 4-169 系统根轨迹图
(3) 求闭环极点相同时的 \(K\) 及 \(p\) 值。
由图 4-169 显然可见,只有在两个系统的分离点处,才存在相同的闭环极点,即
\[K_d=p_d=4\]
时,两个系统具有相同的闭环重极点
\[s_1=s_2=-2\]
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