9) \(f(t)\)与\(\mathrm{e}^{-\alpha t}\)相乘
若\(f(t)\)可拉普拉斯变换,且其拉普拉斯变换为\(F(s)\),则\(\mathrm{e}^{-\alpha t}f(t)\)的拉普拉斯变换为
\[\mathscr{L}\left[\mathrm{e}^{-\alpha t}f(t)\right]=\int_0^\infty \mathrm{e}^{-\alpha t}f(t)\mathrm{e}^{-st}\,\mathrm{d}t=F(s+\alpha)\]
类似地,若有
\[\mathscr{L}[\sin\omega t]=\frac{\omega}{s^2+\omega^2}=F(s),\qquad \mathscr{L}[\cos\omega t]=\frac{s}{s^2+\omega^2}=G(s)\]
则有
\[\mathscr{L}\left[\mathrm{e}^{-\alpha t}\sin\omega t\right]=F(s+\alpha)=\frac{\omega}{(s+\alpha)^2+\omega^2}\]
\[\mathscr{L}\left[\mathrm{e}^{-\alpha t}\cos\omega t\right]=G(s+\alpha)=\frac{s+\alpha}{(s+\alpha)^2+\omega^2}\]
10) 时间比例尺
设函数\(f(t)\)的拉普拉斯变换为\(F(s)\),改变时间比例尺的函数为\(f(t/\alpha)\),其中\(\alpha\)为正常数,则\(f(t/\alpha)\)的拉普拉斯变换为
\[\mathscr{L}[f(t/\alpha)]=\int_0^\infty f(t/\alpha)\mathrm{e}^{-st}\,\mathrm{d}t\]
令\(t/\alpha=t_1,\alpha s=s_1\),得到
\[\mathscr{L}[f(t/\alpha)]=\int_0^\infty f(t_1)\mathrm{e}^{-s_1 t_1}\,\mathrm{d}(\alpha t_1)\]
\[=\alpha\int_0^\infty f(t_1)\mathrm{e}^{-s_1 t_1}\,\mathrm{d}t_1\]
\[=\alpha F(s_1)=\alpha F(\alpha s)\]
例如,考虑\(f(t)=\mathrm{e}^{-t},f(t/5)=\mathrm{e}^{-0.2t}\),由于
\[\mathscr{L}[f(t)]=\mathscr{L}[\mathrm{e}^{-t}]=\frac{1}{s+1}=F(s)\]
因此
\[\mathscr{L}[f(t/5)]=\mathscr{L}[\mathrm{e}^{-0.2t}]=5F(5s)=\frac{5}{5s+1}\]
11) 拉普拉斯变换的积分下限
在某些情况下,若函数\(f(t)\)在\(t=0\)处有一个脉冲函数,这时必须明确指出拉普拉斯积分下限是\(0_-\)还是\(0_+\),因为对这两种下限,\(f(t)\)的拉普拉斯变换是不同的。设
\[\mathscr{L}_+[f(t)]=\int_{0_+}^\infty f(t)\mathrm{e}^{-st}\,\mathrm{d}t\]
\[\mathscr{L}_-[f(t)]=\int_{0_-}^\infty f(t)\mathrm{e}^{-st}\,\mathrm{d}t=\mathscr{L}_+[f(t)]+\int_{0_-}^{0_+}f(t)\mathrm{e}^{-st}\,\mathrm{d}t\]
如果\(f(t)\)在\(t=0\)处包含一个脉冲函数,则因\(\int_{0_-}^{0_+}f(t)\mathrm{e}^{-st}\,\mathrm{d}t\neq 0\),故有
\[\mathscr{L}_+[f(t)]\neq \mathscr{L}_-[f(t)]\]
显然,如果在\(t=0\)处不具有脉冲函数,则有
\[\mathscr{L}_+[f(t)]=\mathscr{L}_-[f(t)]\]
常用函数的拉普拉斯变换对照表,如表1-1所示。
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