\[c^*(0)=0,\quad c^*(1)=0,\quad r(t)=\delta(t)\]
T 为采样周期。要求结果以 \(c(nT)\) 表示。
解 因为
\[Z[c(k+2)]=z^2C(z)-z^2c(0)-zc(1)=z^2C(z)\]
\[Z[6c(k+1)]=6zC(z)-6zc(0)=6zC(z)\]
\[R(z)=1\]
故原方程可化为
\[z^2C(z)-6zC(z)+8C(z)=1\]
\[C(z)=\frac{1}{(z-2)(z-4)}\]
用反演积分法,可得
\[c(nT)=\mathrm{Res}[C(z)\cdot z^{n-1}]_{z\to 2}+\mathrm{Res}[C(z)\cdot z^{n-1}]_{z\to 4}\]
\[=\lim_{z\to 2}\left[\frac{(z-2)\cdot z^{n-1}}{(z-2)(z-4)}\right]+\lim_{z\to 4}\left[\frac{(z-4)\cdot z^{n-1}}{(z-2)(z-4)}\right]\]
\[=-2^{n-2}+2^{2n-3}\quad(n=2,3,4,\cdots)\]
幂级数法验证
\[C(z)=\frac{1}{z^2-6z+8}=z^{-2}+6z^{-3}+28z^{-4}+\cdots\]
故 \(c(0)=c(1)=0,\ c(2)=1,\ c(3)=6,\ c(4)=28,\cdots\),结果一致。
7-29 已知采样系统如图 7-36 所示,试问:(1)系统是否稳定?证明之;(2)如何改善系统的稳定性能?
图 7-36 闭环采样系统结构图
解 (1) 开环脉冲传递函数为
\[G(z)=\mathscr{Z}\left[\frac{10}{s(s+1)}\right]=\frac{10(1-\mathrm{e}^{-1})z}{(z-1)(z-\mathrm{e}^{-1})}=\frac{6.3212z}{z^2-1.3678z+0.3678}\]
则闭环脉冲传递函数为
\[\Phi(z)=\frac{G(z)}{1+G(z)}=\frac{6.3212z}{z^2+4.9534z+0.3678}\]
特征方程为 \(\quad D(z)=z^2+4.9534z+0.3678=0\)
求得特征根为 \(\quad z_1=-4.8780,\quad z_2=-0.0754\)
因为 \(|z_1|>1\),故系统不稳定。
(2) 由于原离散系统不稳定,故可以增加一个数字校正装置,使得系统闭环稳定。令期望的稳定的闭环脉冲传递函数为
\[\Phi(z)=z^{-1}\]
则可设计数字校正装置为