\[
=K(1-z^{-1})\mathscr{Z}\left[\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s}+\frac{1}{s+1}\right]
\]
\[
=K(1-z^{-1})\left[\frac{z}{(z-1)^2}-\frac{z}{z-1}+\frac{z}{z-0.3679}\right]
\]
\[
=\frac{K(0.3679z+0.2642)}{(z-1)(z-0.3679)}
\]
闭环误差脉冲传递函数
\[
\Phi_e(z)=\frac{1}{1+G_hG_o(z)}=\frac{(z-1)(z-0.3679)}{z^2+(0.3679K-1.3679)z+(0.2642K+0.3679)}
\]
闭环特征方程为
\[
D(z)=z^2+(0.3679K-1.3679)z+(0.2642K+0.3679)=0
\]
令 \(z=\dfrac{w+1}{w-1}\)，得
\[
0.6321Kw^2+(1.2642-0.5284K)w+(2.7358-0.1037K)=0
\]
列出劳斯表
| \(w^2\) | \(0.6321K\) | \(2.7358-0.1037K\) |
|---|---|---|
| \(w^1\) | \(1.2642-0.5284K\) | \(0\) |
| \(w^0\) | \(2.7358-0.1037K\) |
根据稳定判据，可知
\[
K>0
\]
\[
1.2642-0.5284K>0,\quad K<2.3925
\]
\[
2.7358-0.1037K>0,\quad K<26.3819
\]
则有
\[
0<K<2.3925
\]
故系统临界放大系数 \(K_c=2.3925\)。
(2) 若采样周期 \(T=1\)，输入作用 \(r(t)=t\)，证明 \(e_{ss}(\infty)=\dfrac{1}{K}\)。系统静态误差系数
\[
K_v=\lim_{z\to1}(z-1)G_hG_0(z)=\lim_{z\to1}\frac{K(0.3679z+0.2642)}{(z-0.3679)}=K
\]
根据开环脉冲传递函数的形式，可以判定该系统是Ⅰ型系统，在单位斜坡输入的情况下，稳态误差为
\[
e_{ss}(\infty)=\frac{T}{K_v}=\frac{1}{K}
\]
令 \(K=2\)，进行MATLAB验证，得系统单位斜坡响应如图7-42所示，可见 \(e_{ss}(\infty)=0.5\)。
MATLAB文本：exe732.m
T=1;t=0:1:20;
sys=tf([0.3679*2,0.2642*2],[1,0.3679*2-1.3679,0.2642*2+0.3679],T);
u=t;lsim(sys,u,t,0);grid;
图7-42 系统单位斜坡响应(MATLAB)
7-33 采样系统结构图如图7-43所示。
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