算得该系统的动态性能指标为
峰值时间 \(t_p=\dfrac{\beta_d-\psi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta_d^2}}=4.72\text{s}\)
超调量 \(\sigma\%=r\sqrt{1-\zeta_d^2}\,\mathrm{e}^{-\zeta_d\omega_n t_p}\times100\%=20.8\%\)
调节时间 \(t_s=\dfrac{4+\ln r}{\zeta_d\omega_n}=13.04\text{s}\) \((\Delta=0.02)\)
图 3-41 宇宙飞船姿态控制系统单位阶跃响应曲线(MATLAB)
仿真结果如图 3-41 所示。
MATLAB程序：exe344.m
num=[2/3 2/9]; den=[1 2/3 2/9];
figure, step(num,den);
3-45 设电子心律起搏器系统如图 3-42 所示，其中模仿心脏的传递函数相当于一纯积分器。(1) 若 \(\zeta=0.5\) 对应最佳响应，问起搏器增益 \(K\) 应取多大？(2) 若期望心速为 60 次/min，突然接通起搏器，问 1s 后实际心速为多少？瞬时最大心速多大？
解 (1) 由图 3-42 可得系统的开环传递函数为
图 3-42 电子心律起搏器系统结构图
\[G(s)=\frac{K}{s(0.05s+1)}=\frac{20K}{s(s+20)}=\frac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta\omega_n)}\]
经比较可得，若 \(\zeta=0.5\) 对应最佳响应，则应取起搏器 \(K=20\)。
(2) 满足 \(\zeta=0.5\) 的系统的闭环传递函数为
\[\Phi(s)=\frac{400}{s^2+20s+400}\]
即系统的自然频率和阻尼比分别为
\[\omega_n=20,\qquad \zeta=0.5\]
则该系统的单位阶跃响应表达式为
\[c(t)=1-\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}\mathrm{e}^{-\zeta\omega_n t}\sin\left(\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\,t+\arccos\zeta\right)\]
\[=1-1.155\mathrm{e}^{-10t}\sin(17.32t+60^{\circ})\]
若期望心速为 60 次/min，突然接通起搏器，设 1s 后实际心速为 \(c(1)\)，则
\[c(1)=60\times[1-1.155\mathrm{e}^{-10}\sin(17.32+\pi/3)]=60.0015\text{次}/\text{min}\]
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