\(p_3=-2\),系统的开环零点为 \(z_1=-1/T_1\),则 \(s\) 到开环极点的角度可由如下计算:
\[\theta_{sp_1}=180°-\arctan(1.07/0.65)=121.28°\]
\[\theta_{sp_2}=\arctan(1.07/0.35)=71.89°\]
\[\theta_{sp_3}=\arctan(1.07/1.35)=38.40°\]
由闭环根轨迹的相角条件
\[\varphi_{z_1}-\theta_{sp_1}-\theta_{sp_2}-\theta_{sp_3}=(2k+1)\pi\]
可得,当 \(k=-1\) 时,应有
\[\varphi_{z_1}=51.57°\]
根据分析可知,系统的开环零点位于 \(s=-0.65\) 左边,则
\[\varphi_{z_1}=51.57°=\arctan\left(\frac{1.07}{1/T_1-0.65}\right)\]
解得
\[T_1=0.667\]
即系统的开环零点 \(z_1=-1/T_1=-1.5\)。
① 根轨迹的分支和起点与终点:由于 \(n=3,m=1,n-m=2\),故根轨迹有三条分支,其起点分别为 \(p_1=0,p_2=-1,p_3=-2\),其终点分别为 \(z_1=-1.5\) 和无穷远处。
② 实轴上的根轨迹分布区: \([-2,-1.5],[-1,0]\)。
③ 根轨迹的渐近线: \(\sigma_a=\dfrac{-2-1+1.5}{2}=-0.75\), \(\varphi_a=\pm\dfrac{\pi}{2}\)。
④ 根轨迹的分离点:根轨迹的分离点坐标满足
\[\frac{1}{d}+\frac{1}{d+1}+\frac{1}{d+2}=\frac{1}{d+1.5}\]
由试凑法可得 \(d=-0.55\)。
根据以上几点,其概略根轨迹图如图 4-129 所示。
MATLAB文本及仿真曲线如图 4-130 所示。
MATLAB程序:exe437.m
G=zpk([-1.5],[0 -1 -2],1);
figure, rlocus(G);
图 4-129 \(1+\dfrac{K^*(T_1s+1)}{s(s+1)(s+2)}=0\) 概略根轨迹图
图 4-130 \(1+\dfrac{K^*(T_1s+1)}{s(s+1)(s+2)}=0\) 根轨迹图(MATLAB)
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