续表
| 序号 | 象函数 \(F(s)\) | 原函数 \(f(t)\) |
|---|---|---|
| 37 | \(\dfrac{s^2+a_1 s+a_0}{s(s+a)^2}\) | \(\dfrac{a_0}{a^2}+\left(\dfrac{a_1 a-a_0-a^2}{a}t+\dfrac{a^2-a_0}{a^2}\right)\mathrm{e}^{-at}\) |
| 38 | \(\dfrac{1}{s(s+a)}\) | \(\dfrac{1}{a}(1-\mathrm{e}^{-at})\) |
| 39 | \(\dfrac{s+a_0}{s(s+a)}\) | \(\dfrac{1}{a}\left[a_0-(a_0-a)\mathrm{e}^{-at}\right]\) |
| 40 | \(\dfrac{s}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}\) | \(\dfrac{-1}{\sqrt{1-\zeta^2}}\mathrm{e}^{-\zeta\omega_n t}\sin(\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\,t-\varphi)\)，\(\varphi=\arctan(\sqrt{1-\zeta^2}/\zeta)\) |
| 41 | \(\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}\) | \(\dfrac{\omega_n}{\sqrt{1-\zeta^2}}\mathrm{e}^{-\zeta\omega_n t}\sin(\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\,t)\) |
| 42 | \(\dfrac{\omega_n^2}{s(s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2)}\) | \(1-\dfrac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}\mathrm{e}^{-\zeta\omega_n t}\sin(\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\,t+\varphi)\)，\(\varphi=\arctan(\sqrt{1-\zeta^2}/\zeta)\) |
2. 拉普拉斯变换定理
1) 实微分定理
设 \(F(s)=\mathscr{L}[f(t)]\)，则应用分部积分法求拉普拉斯变换积分，有
\[\int_0^\infty f(t)\mathrm{e}^{-st}\,\mathrm{d}t=f(t)\dfrac{\mathrm{e}^{-st}}{-s}\Bigg|_0^\infty-\int_0^\infty\left[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(t)\right]\dfrac{\mathrm{e}^{-st}}{-s}\,\mathrm{d}t=\dfrac{f(0)}{s}+\dfrac{1}{s}\mathscr{L}\left[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(t)\right]\]
从而
\[\mathscr{L}\left[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(t)\right]=sF(s)-f(0)\]
同理可证
\[\mathscr{L}\left[\dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}f(t)\right]=s^2F(s)-sf(0)-\dot{f}(0)\]
\[\mathscr{L}\left[\dfrac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}t^n}f(t)\right]=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}\dot{f}(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)\]
2) 终值定理
如果函数 \(f(t)\) 和 \(\mathrm{d}f(t)/\mathrm{d}t\) 是可拉普拉斯变换的，象函数 \(F(s)\) 是 \(f(t)\) 的拉普拉斯变换，并且极限 \(\lim\limits_{t\to\infty}f(t)\) 存在，则有
\[\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to0}sF(s)\]
为了证明该定理，在 \(\mathrm{d}f(t)/\mathrm{d}t\) 的拉普拉斯变换中，令 \(s\) 趋于零，即
\[\lim_{s\to0}\int_0^\infty\left[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(t)\right]\mathrm{e}^{-st}\,\mathrm{d}t=\lim_{s\to0}\left[sF(s)-f(0)\right]\]
因为 \(\lim\limits_{s\to0}\mathrm{e}^{-st}=1\)，所以得
\[\int_0^\infty\left[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(t)\right]\mathrm{d}t=f(t)\Big|_0^\infty=f(\infty)-f(0)=\lim_{s\to0}sF(s)-f(0)\]
从而
\[f(\infty)=\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to0}sF(s)\]
应当指出，当且仅当 \(\lim\limits_{t\to\infty}f(t)\) 存在，才能应用终值定理，这意味着当 \(t\to\infty\) 时，\(f(t)\) 将稳定到确定值。如果 \(sF(s)\) 的所有极点均位于左半 \(s\) 平面，则 \(\lim\limits_{t\to\infty}f(t)\) 存在；如果 \(sF(s)\) 有极点位于虚轴或位于右半 \(s\) 平面内，\(f(t)\) 将分别包含振荡的或按指数规律增长的时间函数分量，因而 \(\lim\limits_{t\to\infty}f(t)\) 将不存在。显然，如果 \(f(t)\) 是正弦函数 \(\sin\omega t\)，则 \(sF(s)\) 将有位于虚轴上
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