(2) 由于
\[
\boldsymbol{g}(s) = \begin{bmatrix} 1 \\[2mm] \dfrac{s}{s^2-1} \\[2mm] \dfrac{1}{s-1} \end{bmatrix} = \frac{1}{s^2-1} \begin{bmatrix} 0 \\ s \\ s+1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
利用传递函数直接分解法得到可控标准型实现为
\[
\dot{\boldsymbol{x}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \boldsymbol{x} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u, \qquad
\boldsymbol{y} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \boldsymbol{x} + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} u
\]
(3) 由于
\[
\boldsymbol{g}(s) = \begin{bmatrix} \dfrac{1}{s} \\[2mm] 0 \\[2mm] \dfrac{-1}{s^2+1} \end{bmatrix} = \frac{1}{s^3+s} \begin{bmatrix} s^2+1 \\ 0 \\ -s \end{bmatrix}
\]
利用传递函数直接分解法得到可控标准型实现为
\[
\dot{\boldsymbol{x}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \boldsymbol{x} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} u, \qquad
\boldsymbol{y} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \boldsymbol{x}
\]
(4) 由于
\[
\boldsymbol{g}(s) = \begin{bmatrix} \dfrac{1}{s^2+1} \\[2mm] \dfrac{1}{s^2-1} \end{bmatrix} = \frac{1}{s^4-1} \begin{bmatrix} s^2-1 \\ s^2+1 \end{bmatrix}
\]
利用传递函数直接分解法得到可控标准型实现为
\[
\dot{\boldsymbol{x}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \boldsymbol{x} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} u, \qquad
\boldsymbol{y} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \boldsymbol{x}
\]
(5) MATLAB 验证。最后通过下列 MATLAB 程序验证上述计算,结果完全一致。
MATLAB 程序:exe907.m
den1=conv(conv([1 1],[1 2]),[1 3]);num1=[1 5 6;1 4 3;1 3 2];
[A,B,C,D] = tf2ss(num1,den1);
[A1,B1,C1,P1]=normal- control(A,B,C,D)
9-8 已知系统的传递函数行向量
(1) \(\boldsymbol{g}(s) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & \dfrac{1}{s+1} & \dfrac{1}{s+2} \end{bmatrix}\); (2) \(\boldsymbol{g}(s) = \begin{bmatrix} \dfrac{1}{s+1} & \dfrac{s}{s-1} & \dfrac{2s}{s^2-1} \end{bmatrix}\);
(3) \(\boldsymbol{g}(s) = \begin{bmatrix} 3 & \dfrac{2}{s^2+1} & \dfrac{s^2}{s^2+1} \end{bmatrix}\)。
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