考研851 自动控制原理
题海 · pdf-page · p.502
\[ \boldsymbol{\Phi}(T)=\boldsymbol{\Phi}(t)\mid_{t=T}=\begin{bmatrix}1 & \dfrac{1}{2}(1-\mathrm{e}^{-2T}) \\ 0 & \mathrm{e}^{-2T}\end{bmatrix} \]
\[ \boldsymbol{G}(T)=\int_{0}^{T}\boldsymbol{\Phi}(\tau)\boldsymbol{b}\,\mathrm{d}\tau=\int_{0}^{T}\begin{bmatrix}1 & \dfrac{1}{2}(1-\mathrm{e}^{-2\tau}) \\ 0 & \mathrm{e}^{-2\tau}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}\mathrm{d}\tau=\begin{bmatrix}\dfrac{1}{2}T-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\mathrm{e}^{-2T} \\ \dfrac{1}{2}(1-\mathrm{e}^{-2T})\end{bmatrix} \]

相应的离散时间状态方程为

\[ \boldsymbol{x}(k+1)=\begin{bmatrix}1 & \dfrac{1}{2}(1-\mathrm{e}^{-2T}) \\ 0 & \mathrm{e}^{-2T}\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(k)+\begin{bmatrix}\dfrac{1}{2}T-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\mathrm{e}^{-2T} \\ \dfrac{1}{2}(1-\mathrm{e}^{-2T})\end{bmatrix}u(k) \]

(3) MATLAB 验证。最后,利用 MATLAB 程序验证,可知上述结果一致。

MATLAB 程序:exe920.m

syms x T
A1=[0 1;-6 5];B1=[1 -2]';
phi0=Lphi(A1);phi1=subs(phi0,t,T);phi2=subs(phi0,t,x)
f=phi2*B1;y=(int(f,x,0,T);pretty(y)

9-21　试求下列各系统的传递函数矩阵或传递函数向量:

(1) \(\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}-2 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & -4 & 0\end{bmatrix}\),\(\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ -1\end{bmatrix}\),\(\boldsymbol{c}=\begin{bmatrix}1 & -1 & 1\end{bmatrix}\),\(d=1\);

(2) \(\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -6 & -11 & -6\end{bmatrix}\),\(\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}2 & 6 \\ 3 & 5 \\ 1 & 1\end{bmatrix}\),\(\boldsymbol{c}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1\end{bmatrix}\),\(d=0\);

(3) \(\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 0\end{bmatrix}\),\(\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\),\(\boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}-2 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1\end{bmatrix}\),\(\boldsymbol{D}=\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\);

(4) \(\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -2 & -3\end{bmatrix}\),\(\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{bmatrix}\),\(\boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \\ -2 & -1\end{bmatrix}\),\(\boldsymbol{D}=\begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\)。

解 (1) 系统(1)的传递函数。由于系统的传递函数矩阵为 \(\boldsymbol{G}(s)=\boldsymbol{C}(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}\boldsymbol{B}+\boldsymbol{D}\),因此先求得

\[ (s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}=\frac{1}{(s+2)(s^{2}+2s-1)}\begin{bmatrix}s(s+2) & 2s-4 & s+2 \\ 0 & s^{2}+2s-1 & 0 \\ s+2 & -4s-6 & (s+2)^{2}\end{bmatrix} \]

则

\[ \boldsymbol{G}(s)=\boldsymbol{c}(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}\boldsymbol{b}+d=1+\frac{-s-3}{s^{2}+2s-1}=\frac{s^{2}+s-4}{s^{2}+2s-1} \]

(2) 系统(2)的传递函数向量。由于

\[ (s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}=\frac{1}{s^{3}+6s^{2}+11s+6}\begin{bmatrix}s^{2}+6s+11 & s+6 & 1 \\ -6 & s^{2}+6s & s \\ -6s & -11s-6 & s^{2}\end{bmatrix} \]

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