\[
\boldsymbol{V}^{-1}=\frac{1}{6}\begin{bmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 3 & -3 & 6 \\ -1 & 1 & -4 \end{bmatrix}
\]
取 \(\boldsymbol{V}^{-1}\) 的第 3 行, \(\boldsymbol{v}_n^{\mathrm{T}}=\dfrac{1}{6}\begin{bmatrix} -1 & 1 & -4 \end{bmatrix}\) ,并构造
\[
\boldsymbol{P}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{v}_n^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{v}_n^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{v}_n^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})^2 \end{bmatrix} = \frac{1}{6}\begin{bmatrix} -1 & 1 & -4 \\ 1 & -1 & -2 \\ 5 & 1 & -4 \end{bmatrix}
\]
求 \(\boldsymbol{P}\) 的逆矩阵
\[
\boldsymbol{P}^{-1}=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & -4 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \end{bmatrix}
\]
令 \(\boldsymbol{T}=(\boldsymbol{P}^{-1})^{\mathrm{T}}\) 为变换阵,即
\[
\boldsymbol{T}=\begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & -4 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \bar{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{T}\boldsymbol{x}, \quad \boldsymbol{T}^{-1}=\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}=\frac{1}{6}\begin{bmatrix} -1 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \\ -4 & -2 & -4 \end{bmatrix}
\]
因此可得系统的可观测标准型为
\[
\dot{\bar{\boldsymbol{x}}}=\boldsymbol{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{T}^{-1}\bar{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{T}\boldsymbol{b}u=\begin{bmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}\bar{\boldsymbol{x}}+\begin{bmatrix} -6 \\ -9 \\ 9 \end{bmatrix}u, \quad y=\boldsymbol{c}\boldsymbol{T}^{-1}\bar{\boldsymbol{x}}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\bar{\boldsymbol{x}}
\]
(2) 计算可观测性矩阵
\[
\boldsymbol{V}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{c}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{c}^{\mathrm{T}} & (\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})^2\boldsymbol{c}^{\mathrm{T}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -4 \\ 2 & -6 & 18 \end{bmatrix}
\]
由于 \(\mathrm{rank}\,\boldsymbol{V}=3=n\) ,因此系统可观测。
求 \(\boldsymbol{V}\) 的逆矩阵
\[
\boldsymbol{V}^{-1}=\begin{bmatrix} 3 & 3 & 0.5 \\ 2.5 & 4 & 0.75 \\ 0.5 & 1 & 0.25 \end{bmatrix}
\]
取 \(\boldsymbol{V}^{-1}\) 的第 3 行, \(\boldsymbol{v}_n^{\mathrm{T}}=\begin{bmatrix} 0.5 & 1 & 0.25 \end{bmatrix}\) ,并构造
\[
\boldsymbol{P}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{v}_n^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{v}_n^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{v}_n^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.5 & 1 & 0.25 \\ -0.5 & -2 & -0.75 \\ 0.5 & 4 & 2.25 \end{bmatrix}
\]
求 \(\boldsymbol{P}\) 的逆矩阵
\[
\boldsymbol{P}^{-1}=\begin{bmatrix} 6 & 5 & 1 \\ -3 & -4 & -1 \\ 4 & 6 & 2 \end{bmatrix}
\]
令 \(\boldsymbol{T}=(\boldsymbol{P}^{-1})^{\mathrm{T}}\) 为变换阵,即
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