\(n(t)=0\) 时,系统的超调量、上升时间和调节时间;(2) \(r(t)=0,n(t)=1(t)\) 时,系统的超调量和调节时间;(3) \(r(t)=t,n(t)=1(t)\) 时,系统的稳态误差。
当局部反馈闭合时,试求:(1) \(r(t)=1(t),n(t)=0\) 时,要求超调量降为 \(20\%\) 的 \(K_t\) 和调节时间;(2) \(r(t)=0,n(t)=1(t)\) 时,\(K_t\) 取值同上,系统的超调量和调节时间;(3) \(r(t)=t,n(t)=1(t)\) 时,\(K_t\) 取值同上,系统的稳态误差。
图 3-28 控制系统结构图
通过上述对比性计算,说明局部反馈(内反馈)的作用。
解 当内反馈断开时:
(1) \(r(t)=1(t)\) 时的 \(\sigma\%,t_r\) 和 \(t_s\)
开环传递函数为
\[G(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta\omega_n)}=\frac{56}{s(s+3)}=\frac{56/3}{s\left(\frac{1}{3}s+1\right)}\]
因此
\[\zeta=0.2,\quad \omega_n=\sqrt{56}=7.48,\quad \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=7.33,\quad K_v=\frac{56}{3}\]
算得
\[\beta=\arccos\zeta=78.46°=1.37\]
\[\sigma\%=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%=52.7\%\]
\[t_r=\frac{\pi-\beta}{\omega_d}=0.24,\quad t_s=\frac{3.5}{\zeta\omega_n}=2.33\quad(\Delta=5\%)\]
(2) \(n(t)=1(t)\) 时的 \(\sigma\%\) 和 \(t_s\)。
\[C_n(s)=-\frac{0.1}{2s(s+3)+112}N(s)=-8.93\times10^{-4}\frac{56}{s(s^2+3s+56)}\]
\[=-8.93\times10^{-4}\left[1-\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta\omega_nt}\sin(\omega_dt+\beta)\right]\]
\[=-8.93\times10^{-4}[1-1.02e^{-1.5t}\sin(7.33t+78.46°)]\]
由于是线性系统,且 \(\zeta=0.2,\omega_n=7.48\),故
\[\sigma\%=52.7\%,\quad t_s=2.33\quad(\Delta=5\%)\]
(3) \(r(t)=t,n(t)=1(t)\) 时的稳态误差。
\[e_{ssr}(\infty)=\frac{1}{K_v}=0.054\]
扰动作用下的稳态误差为
\[e_{ssn}(\infty)=-\lim_{s\to0}\frac{G_2H}{1+G_1G_2H}sN(s)\]
对于本例,\(G_1=112,G_2=\dfrac{1}{2s(s+3)},H=1\),而 \(N(s)=0.1/s\)。于是算得