\(t_0\),能观测性克莱姆矩阵为 \(W(t_0 \cdot t_1) = \int_{t_0}^{t_1} e^{-A^T\tau}C^TCe^{-A\tau}d\tau\) 非奇异,系统能观测。

(3) \(\dot{x}=Ax+Bu\),\(y=Cx\) \(\xrightarrow{\text{对偶系统}}\) \(\dot{x}=A^Tx+C^Tu\),\(y=B^Tx\),原系统能控,对偶系统能测

13、对于定常线性系统 \(\begin{cases}\dot{x}=Ax+Bu\\y=Cx\end{cases}\),简述状态反馈对能控性、能观测性、系统极点的影响。通过状态反馈能任意配置极点的充要条件是什么?系统(A,B)是能稳的充要条件是什么?

解析:状态反馈不改变系统的能控性,有可能会改变系统的能观性,会影响极点的配置:状态反馈任意配置极点的条件是系统完全可控。不稳定极点可控,即可稳定。

14、试说明系统能设计形如 \(\dot{z}=(A+GC)z+Bu-Gy\) 的观测器,并且观测器的极点可以任意配置的充分必要条件是什么?加入观测器的反馈控制系统的极点有何改变?加入观测器后,对闭环传递函数有何影响?原输入输出关系会不会改变?

(1) 观测器存在的充要条件是,系统能观测或者系统虽不能观测但其不能观测的子系统的特征值具有负实部。

(2) 观测器配置不影响状态反馈极点配置

(3) 观测器只用于观测极点,不会改变传递函数

(4) 原输入输出关系不会改变。

15、连续系统状态方程的能控性与其离散化后状态方程的能控性之间的关系是什么?采用李雅普诺夫第二方法判定系统稳定性的物理意义是什么?

答:(1) 连续系统可控时,若采样周期选择不当,对应的离散化系统,有可能不可控,;若连续系统不可控,不管采样周期如何,离散化后的系统一定不可控。

(2)从能量观点进行稳定性分析,如果一个系统被激励后,其储存的能量随着时间的推移逐渐衰减,到达平衡状态时,能量将达到最小值,那么平衡状态是稳定的,如果系统不断地从外界吸收能量,储能越来越大,这个平衡状态是不稳定的,如果系统的储能既不增加也不消耗,那么这个平衡状态就是李雅普诺夫意义下的稳定。

16、如果该定常线性系统是完全能控的,请说明他的所有极点是否都能任意配置,请给出理由。请简述非奇异变换对定常线性系统传递函数、能控性、能观测性的影响。请简述状态反馈对系统能控性、能观测性、稳定性的影响。

答:非奇异线性变换影响系统的可控性及可测性,不改变传递函数。观测器不影响原系统的能控性和能测性,也不影响稳定性。

$\(\dot{x}=(A-GC)\hat{x}+Bu+Gy\)$