则
\[\Phi_e(s)=\dfrac{a_1 s+a_2 s^2+\cdots+a_{n-1}s^{n-1}+s^n}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1 s+a_0},\qquad R(s)=\dfrac{1}{s}\]
由终值定理可得
\[e_{ss}(\infty)=\lim_{s\to 0}s\Phi_e(s)R(s)=\lim_{s\to 0}\dfrac{a_1 s+a_2 s^2+\cdots+a_{n-1}s^{n-1}+s^n}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1 s+a_0}=0\]
因而充分条件得证。
(2) 当系统在斜坡信号输入下，\(\Phi(s)=\dfrac{a_1 s+a_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1 s+a_0}\) 时，即
\[b_0=a_0,\quad b_1=a_1,\quad b_i=0\ (i=2,\cdots,m)\]
则
\[\Phi_e(s)=\dfrac{a_2 s^2+\cdots+a_{n-1}s^{n-1}+s^n}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1 s+a_0},\qquad R(s)=\dfrac{1}{s^2}\]
由终值定理可得
\[e_{ss}(\infty)=\lim_{s\to 0}s\Phi_e(s)R(s)=\lim_{s\to 0}\dfrac{a_2 s^1+\cdots+a_{n-1}s^{n-2}+s^{n-1}}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1 s+a_0}=0\]
因而充分条件得证。
(3) 同理可推导系统在单位加速度信号输入下，稳态误差为零的充分条件为
\[\Phi(s)=\dfrac{a_2 s^2+a_1 s+a_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1 s+a_0}\]
即 \(b_0=a_0,\ b_1=a_1,\ b_2=a_2,\ b_i=0\ (i=3,\cdots,m)\)
则
\[\Phi_e(s)=\dfrac{a_3 s^3+\cdots+a_{n-1}s^{n-1}+s^n}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1 s+a_0},\qquad R(s)=\dfrac{1}{s^3}\]
由终值定理可得
\[e_{ss}(\infty)=\lim_{s\to 0}s\Phi_e(s)R(s)=\lim_{s\to 0}\dfrac{a_3 s^1+\cdots+a_{n-1}s^{n-2}+s^{n-1}}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1 s+a_0}=0\]
充分条件显然成立。
3-28 设前馈控制系统如图 3-19 所示，误差定义为 \(e(t)=r(t)-c(t)\)。试选择前馈参数 \(\tau\) 和 \(b\) 的值，使系统对输入 \(r(t)\) 成为 II 型系统。
图 3-19 前馈控制系统结构图
解 由图 3-19 可知前馈控制系统的闭环传递函数为
\[\Phi(s)=\dfrac{K_1(\tau s+b)}{(T_1 s+1)(T_2 s+1)+K_1}\]
根据误差定义 \(e(t)=r(t)-c(t)\)，可得
\[E(s)=R(s)-C(s)=R(s)\left[1-\Phi(s)\right]\]
\[=\dfrac{T_1 T_2 s^2+(T_1+T_2-K_1\tau)s+1+K_1(1-b)}{(T_1 s+1)(T_2 s+1)+K_1}R(s)\]
欲使系统对输入 \(r(t)\) 成为 II 型系统，须有：\(R(s)=1/s^2\) 时，\(e_{ss}(\infty)=0\)；\(R(s)=1/s^3\)