题海 · pdf-page · p.510
\[
(8)\ \boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
-a_n & -a_{n-1} & -a_{n-2} & \cdots & -a_2 & -a_1
\end{bmatrix},\quad
\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
\vdots \\
0 \\
1
\end{bmatrix},\quad
\boldsymbol{c}=\begin{bmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 & 0\end{bmatrix};
\]
解 (1) 由于 \(\boldsymbol{A}\) 为对角阵，\(\boldsymbol{A}\) 阵中对角元素对应的 \(\boldsymbol{b}\) 中行元素与 \(\boldsymbol{c}\) 中列元素有零项，因此系统不可控，也不可观测。
另由系统的输出可控性矩阵容易得到
\[
\mathrm{rank}\boldsymbol{S}_o=\mathrm{rank}[\boldsymbol{cb}\quad \boldsymbol{cAb}\quad \boldsymbol{cA}^2\boldsymbol{b}\quad \boldsymbol{cA}^3\boldsymbol{b}]=\mathrm{rank}[0\quad 0\quad 0\quad 0]=0<1=q
\]
所以系统输出不可控。
(2) 由于在 \(\boldsymbol{A}\) 阵中存在两个同一元素的约当块，两个约当块分别对应的 \(\boldsymbol{b}\) 中行向量的最后一行组成的向量 \([1\quad 1]^{\mathrm{T}}\) 行线性相关，所以系统不可控。
由于在 \(\boldsymbol{A}\) 阵中存在两个同一元素的约当块，两个约当块分别对应的 \(\boldsymbol{c}\) 中列向量的第一列组成的向量 \([1\quad 1]\) 列线性相关，所以系统不可观测。
另由系统的输出可控性矩阵容易得到
\[
\mathrm{rank}\boldsymbol{S}_o=\mathrm{rank}[\boldsymbol{cb}\quad \boldsymbol{cAb}\quad \boldsymbol{cA}^2\boldsymbol{b}\quad \boldsymbol{cA}^3\boldsymbol{b}]=1=q
\]
所以系统输出可控。
(3) 由于 \(\boldsymbol{A}\) 为对角阵，\(\boldsymbol{A}\) 阵中对角元素对应的 \(\boldsymbol{b}\) 中行元素与 \(\boldsymbol{c}\) 中列元素均有零项，因此系统不可控，也不可观测。
另由系统的输出可控性矩阵容易得到
\[
\mathrm{rank}\boldsymbol{S}_o=\mathrm{rank}[\boldsymbol{cb}\quad \boldsymbol{cAb}\quad \boldsymbol{cA}^2\boldsymbol{b}\quad \boldsymbol{cA}^3\boldsymbol{b}]=1=q
\]
所以系统输出可控。
(4) 系统的可控性矩阵
\[
\boldsymbol{S}=[\boldsymbol{b}\quad \boldsymbol{Ab}\quad \boldsymbol{A}^2\boldsymbol{b}]=\begin{bmatrix}
0 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2
\end{bmatrix}
\]
由于 \(\mathrm{rank}\boldsymbol{S}=2<n=3\)，所以系统不可控。
系统的可观测性矩阵
\[
\boldsymbol{V}=\begin{bmatrix}
\boldsymbol{c} \\
\boldsymbol{cA} \\
\boldsymbol{cA}^2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 0
\end{bmatrix}
\]
由于 \(\mathrm{rank}\boldsymbol{V}=2<n=3\)，所以系统不可观测。
另由系统的输出可控性矩阵容易得到
\[
\mathrm{rank}\boldsymbol{S}_o=\mathrm{rank}[\boldsymbol{cb}\quad \boldsymbol{cAb}\quad \boldsymbol{cA}^2\boldsymbol{b}]=1=q
\]
所以系统输出可控。
(5) 由于系统为可控标准型形式，因此系统可控。另由于 \(\boldsymbol{c}=[0\quad 0\quad 0]\)，则显然系统不可观测，输出不可控。
(6) 系统的可控性矩阵
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