各位考生，大家好，欢迎来到考试点啊，我们这一讲呢，接着上一讲的内容来复习第三章。在上一讲当中，我们了解了第三章的知识脉络，并且呢，了解了典型的一阶，二阶系统，它的展态性能。那么，从这一讲开始，我们先要来，首先要来讲一下高阶系统，它的一些食欲分析。从应试的角度来看，现在呢？在各种学呃各个院校的考研试题当中，对于高阶系统的分析的题型呢，是越来越多了。而且这种题型呢，主要真主要啊，它的考点是落在了两个重要的概念，一个叫做主导极点，还有一个叫做偶极子上面啊，偶极子上面。利用主导基点和偶极子的概念呢？对高阶系统做降阶的处理，做降阶的处理，并且从。从现在的啊，试题的分布来看，此类试题它出现的频率是越来越高了，那出现的频率是越来越高了。那么这两个概念非常重要，它分别指的是什么呢？

首先我们来看闭环主导几点闭环主导几点。闭环主导几点呢？是指在高阶系统的响应过程当中，对于它的性能起到了主导作用的闭环几点。我们都知道，一个高阶系统在时域当中的数学模型呢，是一个高阶的微分方程，而这个高阶微分方程。它的求解一方面是比较困难，另外一个方面高阶系统，它对应的是运动形式也比较多，而在这诸多的运动形态当中。起到重主导作用的呢，是由闭环主导几点所确定所确定的运动形态，那运动形态。

那么这个闭环主导几点？我们是如何来定义的呢？我们来看一下，假如说。这是一个高阶系统，它的极零点分布啊，极零点分布，我们发现这个高阶系统呢，它存在了很多的。吉林点很多的吉林点，可是在这些吉林点分布当中，我们发现有一个有一个。或者是一对极点，一对极点，它距离虚轴非常近。而其他的极零点呢？距离虚轴非常远，远到什么程度呢？这一个或者一对极点，它距离虚轴的啊，这一段距离呢？仅仅是其他极零点距离虚轴距离的1/5，还要小。还要小那么在这种情况下，我们把这一个或者一对几点就叫做这个高阶系统，它的闭环主导几点。闭环主导基点。

那么在这些。极零点，它所对应的运动形态当中，我们发现诶，不管是实数极点也好。复数几点也好，它只要分布在s的左半平面，s的左半平面，那么它的十步都是负的。所对应的响应，如果是实数几点，如果是实数几点，它对应的就会是一个啊，呈现衰减形式的这样的一个指数信号。而如果是复数几点，它对应的呢？实际上是一个呈现了啊，衰减震荡的衰减震荡的。这样的啊。一种运动形态，那么也就是说，当时间t趋近于无穷的时候，不管是实数几点还是复数几点，对应的运动形态呢，都会衰减为零。可是这些其运动形态当中，谁的衰减快一点？谁的衰减慢一点呢？我们发现，如果这些极零点。越靠近于虚轴，那么意味着它衰减的过程。衰减的过程越慢，而那些远离虚轴的极零点呢它。它会在非常短的时间内衰减掉，这样的话，从长期来看，高阶系统的性能主要是由这些靠近虚轴的啊，也就是我们的。主导几点来确定啊？来确定

那么对于高阶系统而言，对于高阶系统而言，如果它存在了。一个一个实数的主导极点，如果存在了一个实数的主导极点，那么这个时候呢，我们可以把高阶系统。近似为一个一阶系统啊，近似为一个一阶系统来处理，我们可以借助于有主导几点所确定的一阶系统，它所对应的性能指标来进。近似的代替高阶系统的性能指标，而如果高阶系统，它存在了一对共阿的复数主导基点。那么这个时候我们可以用一个由这一对闭环主导几点所确定的二阶系统注意是一个嵌阻尼的二阶系统。它所对应的展态性能指标来近似的分析所对应的高阶系统，这是闭环主导基点以及闭环主导基点对系统的。性的影响，

那么此外还有一个重要的概念叫做偶极子偶极子，所谓的偶极子呢是指？由一对极点和零点所构成，由一对极点和零点所构成，而这一对极零点。它们之间的距离比。距离其他的吉林点距离其他的吉林点就是他们自身之间的距离和距离，其他吉林点之间的距离相比较的话。至少要小一个数量级，也就是十倍啊，小十倍这么多，那么在这种情况下，我们可可以把这一堆临近的吉林点。叫做偶极子，而如果这一对偶极子，它是远离虚轴的，远离虚轴的，那么这个时候偶极子它的存在一个在分子当中，一个在分母当中。它们的作用呢？几乎可以抵消掉那几乎可以抵消掉，所以如果我们拿到一个高阶系统，以后观察它，它的传递函数，如果发现在传递函数当中。有这么一对偶极子的存在，那么这个时候它们彼此对于系统的影响，我们可以忽略，那可以忽略嗯。这两个概念呢？在大家清楚了以后，那么尤其是对其中主导几点的概念要非常牢固的掌握，因为它在我们现在各种啊考试当中。各各个院校的考试当中，以极高的频率在出现啊，在出现呃，

我们现在呢，已经分析了一阶二阶和高阶系统的暂态性能。第一个方面的性能指标快，我们已经解决了，再来看第二个方面的指标稳稳呢，我们已经说过了，它是压倒一切的重要条件，那重要条件。而。对于线性系统而言，如果想要让它稳定，是这样来定义的。输出当时间t趋近于无穷的时候，它是趋近于零的。趋近于零的这样的系统，我们认为它是稳定的，那我们认为它是稳定的，稳定的。

充要条件是什么呢？哎，我们发现如果这个系统所有的闭环特征根全部分布在s的左半平面，那么刚才我们已经举例说明了，如果都在左半平面，它对应。应的这些极点，它所对应的响应状态，要么是单调衰减，要么是衰减震荡，当t趋近于零的时候，它都会呃t区。t趋近于无穷的时候呢，这些响应分量都会趋近于零，会趋近于零。这样的话，我们的输出响应就。就会趋近于某一个确定的常数，某一个确定的常数，因此呢，系统它是稳定的，那系统稳定，那系统稳定。嗯。

系统稳定的必要条件，必要条件，特征，方程的所有系数，它必须全部要大于零。那么这个条件呢？是从根与系数的角度来考虑的，如果一个闭环特征方程的某个系数，它不是大于零的。在它所对应的特征根当中，一定会有某一个实根正实根或者某一对具有正实部的共额辅数根存在。那么，不管是哪种情况，系统都不稳定，所以拿到一个闭环特征方程以后，我们先不要着急用。劳斯判距来判定它是否稳定，我们先观察一下它的系数是不是全为正。如果它的系数全为正，它才有可能稳定，那有可能稳定，那么这样的两个啊充要条件也好，必要条件也好，在劳斯判据里边呢啊，都有所体现，那都有所体现。

劳斯判距，它是不需要对系统进行方程的求解，只要知道了特征方程的系数，我们可以构造一个劳斯阵列。构造一个劳斯阵列，如果劳斯阵列，它的首列元素全部大于零。系统它是稳定的，稳定的，否则如果在首列元素当中出现了零。或者是复数系统，它不稳定，而且按照首列元素当中出现的啊。正负的改变以及零元素的多少，我们还可以判定。s平面，它位于s右半平面的特征根的个数啊，特征根的个数。

这个呢诶，我们。来详细看一下，在劳斯阵列当中，在劳斯阵列当中，如果出现了这样的情况，如果出现了这样的情况来。我们的劳斯阵列呢？是这样列的。哎，按照s的降并排列第一行的系数，是我们从特征方程来。特征方程。如果是这样的。那么这个时候，我们从劳斯阵列的第一项开始，隔一项呢取一个，那一直取下去，第二列的系数呢从。特征方程的第二项开始隔一列取一个一直取下去啊，一直取下去一直计算计算到了我们有两个相邻的行。他们各自只有一个系数的时候，劳斯阵列计算完毕，

如果在劳斯阵列当中。它的首列元素在某一行出现了零，那么首先我们要明确一点，此时系统已经不稳定了。而这个时候，我们可以用一个正的小正数epsilon小正数epsilon来取代零元素。接着计算啊，接着计算我们的劳斯阵列，判定劳斯阵列不稳定的原因，不稳定的原因。

而如果在劳斯阵列当中出现了某一行的元素全为零，全为零。那么这个时候呢，我们可以用它的上一行构造一个辅助多项式。哎，构造一个辅助多项式，对这个辅助多项式呢来进行求导。进行求导所对应的导数，我们来观察一下n- 1倍的a的n- 1S的n- 2。再加上n- 3倍的a的n- 3s的n- 4一直加下去，来s的n- 2S的n- 4。不就是这个全龄行所对应的项吗？我们现在用这个辅助多项式，它的导数多项式所对应的系数来取代全龄行。接着，对劳斯阵列来进行计算，判定造成系统不稳定的原因。

当然，在我们教材当中呢，还提到了一种判据，叫做胡尔维兹稳定判据。这种胡二维资本定判据呢？实际上，和劳斯判据呢并没有质的区别，并没有质的区别，它是利用啊，各项系数特征方程的构项，各项系数。构造一个胡尔维茨阵列，利用胡尔维茨阵列的主子式以及顺序主子式。是不是行列式的值全为零来判定系统是否稳定，那么我认为呢，只要大家掌握好了，劳斯稳定判据，胡尔维斯稳定判据呢，不需要。再做过多的说明了。

那么在这里有两个重要的结论，需要大家呢啊，记住它，记住它第一对于线性的定长二线。二阶系统而言，描述它的特征方程呢，是一个二阶的常系数的代数方程，而二阶系统它想要稳定，我们不需要再列劳斯阵列了。只要它的各项系数全为正，那么这个二阶系统它就一定是稳定的，而对于线性定长的三阶系统而言。想要判定它稳定，我们需要呢两个条件，第一，各项系数全为正，第二，a1。a1和a2中间两项的乘积要大于首尾两项的乘积，首尾两项系数的乘积好，这两个结论呢？记住，以后可以简化大家。呃，判定系统稳定性的运算。

在能够对系统进行了稳定性判定以后，我们还需要掌握稳定了的系统，它的稳态精度是好还是坏？也就是说，稳线性系统稳定的线性系统，它的稳态误差是大还是小？那么，对于一个控制系统而言，它的典型结构是这样的，误差信号呢？我们把它放在这里，而实际上呢？我们对误差的定义有两种方式。一种是从。输入端来定义的这种误差，我们认为我们认为给定输入减去反馈信号。减去反馈信号所对应的误差，我们叫做输入端来定义的误差，还有一种呢是从输出端来定义的。我们对于一个系统，我们总是希望它的期望输出和实际输出能够达到一致，这是最佳状态。而现实当中呢？这是啊，不能满足的，那么在这种情况下呢，我们从输出端来定义它的误差，等于期望输出。减去系统的实际输出啊，实际输出

那么对于单位负反馈的系统而言。如果这是单位负反馈的系统hs=1，那么在这种情况下，哎反馈信号BS呢，它就等于系统的实际输出c。CS而一个单位负反馈的系统，我们总是希望它的输出能够完全复现它的输入信号，所以单位负反馈的系统。它的啊，从输入端来定义的这个误差，哎，用es来表示吧，它等于二s-bs也。也就等于给力输入，不就是期望我们的输出吗？反馈信号不就是实际输出吗？所以单位负反馈的系统两种定义方法是一致的，在考生做题的时候呢，一定要。要注意审题。究竟我们的误差是以哪一种方式给你的？要你计算的是哪一端的误差啊？尤其是在带有前馈矫正的。符合控制系统当中，我们更应该注意误差的定义。那误差的定义。

再有，当输入信号和扰动信号同时作用。在线性系统上的时候。两个信号呢，都会对系统的输出产生误差，产生扰动啊，产生误嗯误差。那么这个时候系统的总误差是这两个信号单独作用，在系统上所产生的误差的和。也就是说，这个时候系统总的误差应该等于给定信号作用，在系统上产生的误差。加上一个扰动信号作用，在系统上所产生的误差，而这两个误差又该如何计算呢？哎，我们发现如果我们能够计算出来，给定信号作用，在系统上的误差传递函数。叫做frs那么这个时候我再乘以一个给定信号，这不就是给定信号作用在系统上。所产生的误差了吗？再来加上扰动信号作用，在系统上的传递函数。哎，这叫扰动信号作用，在系统上的误差传递函数，再来乘以扰动信号，那么这个时候系统的总的误差，哎，我们就能够计算获得了。那就能够计算获得了。

刚才啊，我们提到了扰动和给定作用，在系统上的误差传递函数啊，误差传递函数。那么稳态误差除了可以这样计算之外，计算出来以后哎，怎么办呢？哎，我们只得到了误差。它的表达式，那么我们可以利用拉式中值定理啊，拉式中值定理。计算出来，它的稳稳态误差，那计算出来，整个系统的稳态误差。除了这种方法拉式，中式定理可以计算稳态误差之外，当然要用拉式，中式定理还必须要明确一个问题。什么问题呢？这种不管是给定信号也好。还是扰动信号也好。它所对应的误差误差必须在时间域当中是处处解析的，否则拉式中置定理是没有办法使用的啊，是没有办法使用的。

除了拉式中式定理法之外，我们还可以用静态误差系数法，静态误差系数法，要用静态误差系数法。我们要明确明确。这三个静态误差系数，它们各自的定义啊，各自的定义一个。系统它的静态位置误差系数，我们定义它是当开环传递函数x趋近于零时候的极限。速度误差系数呢，是s趋近于零的时候s乘以开环的极限，而加速度误差系数呢，是s的平方乘以开环。s×0s趋近于零时候的极限

计算出来了，静态误差系数以后，如果现在如果现在我们外加的激励信号。是某一些典型信号，它的线性组合，哎，线性组合。比如说它是由一个阶跃叠加上一个斜坡，再叠加上一个抛物线所构成的，那么这个时候我们就可以借助于系统的。静态误差，静态误差系数来计算系统的稳态误差。在监狱信号作用下的稳态误差等于1+1/kp。在斜坡信号作用下的稳态误差呢，它就等于1/kv。而在抛物线信号作用下的误差呢，就等于1/ka。那么这样的话，我们就很容易计算出来系统的稳态误差啊，系统的稳态误差。这是第二种计算稳态误差的方法。

第三种，第三种。啊，这是我们刚才提到的拉，始终止定理法那第三种第三种。我们来观察一下，我们来观察一下，这是一个系统，它的开环传递函数。这个开环传递函数呢，是用开环增益和典型环节相乘的形式来表示的啊，来表示的。那么这个时候这个时候在了解了开环传递函数以后啊，我们发现。一个系统，它的稳态误差。它的稳态误差如果是这样的一个结构。如果是这样的一个结构的话，那么这是单位负反馈的系统。两种定义的误差。它的形式呢？两种误差呢？它应该是相等的，那么这个时候想要计算稳态误差。哎，我们发现误差信号呢，它就等于。诶，从输入。误差传递函数。从输入到输出前向通道的增益是一。哎，误差传递函数，我们可以求得那么这个时候所对应的误差就应该等于1+1/gs。再来乘以rs，也就是说影响一个系统的误差，它的因素呢？有两个。一个是开环系统的结构，还有一个是这个系统的输入信号，输入信号，

而如果。一个系统的开环结构可以表现成这样的形式的话，那么这个时候呢，我们来看一下。诶，误差呢？它等于1+1个开环分之一乘以。s那s那么要求稳态误差，实际上呢，是求s趋近于零的时候，s×es的极限。s×es的极限s趋近于零的时候，这些部分呢？哎，没有了，那么这个时候稳态误差的大小和谁有关呢？一和给定信号是有关系的，第二和系统当中开环传递函数的分母。还有了几个积分环节，也是有关系的。此外，和系统的开环增益也是有关系的。而一个开环传递函数当中含有了几个积分环节，这个积分环节的个数伽马是谁呢？哎，伽马，我们把它叫做系统的类型，系统的类型，我们通常说系统是一型，二型，实际上是指它的分母当中含有了一个或者两个积分环节。在这里，系统的类型一定要和系统的阶次要分清，我们可以认为。这是一个二阶系统，但是由于它的分母当中只含有了零的积分环节。所以它是菱形的二阶系统啊，菱形的二阶系统，哎，我们发现这个系统的。开环增益，开环增益和系统的类型。伽马它的值呢，也会影响到系统的稳态误差。

所以计算稳态误差呢，我们可以通过三个途径，一个求得系统的误差表达式，利用拉式中值定理。来求它的稳态误差，还有一种利用静态误差系数法求稳态误差，再有我们可以用啊，可以用。系统的类型以及开环增益，它的值来判定系统的误差啊，判定系统的误差。这是我们讨论的啊，我们在。第三章当中，考研的时候呢，经常会遇到的一些重要考点，在复习了这样的一些考点以后我们来。来总结一下，总结一下。

第三章我们在考研当中经常遇到的啊，经常遇到的一些啊。一些出题点在哪里呢？第一，稳定性的分析。稳定性的分析。第二，稳态的计算啊，稳态误差的计算，第三，暂态性能指标的计算性能指标的计算。这三点在各种考卷当中都一定会考到啊，一定会考到那么这三方面的内容具体到啊。考试当中出现在哪里呢？一判定稳定性，用劳斯判据啊判定稳定性，用劳斯判据。劳斯判定判据，除了可以判定系统是否稳定之外，还可以确定使系统稳定的参数。它的取值范围啊是。使系统稳定的参数，它的取值范围，还有利用静态误差系数法。或者是其他方法来求系统的稳态误差啊，稳态误差计算一阶和二阶。二阶里边呢，重点是嵌阻尼的二阶系统啊，它的赞叹性能指标赞叹性能指标。给定系统的性能指标。此外，如果给你系统的性能指标以及典型典型的响应特性，响应特性，比如说我们给你了这个系统。它在某一个信号作用下的响应曲线，通过这些响应曲线上的某一些关键点。关键点让你反过来确定系统的构成，确定系统的构成也是常见的考察形式啊，考察形式。针对这样的一些考察形式呢？我们采用具体的啊例题来对大家呢啊进行啊讲解进行讲解。

这一讲呢，我们就讲到这里啊，就讲到这里，谢谢大家在下一讲当中呢，我们将针对这样的一些啊，具体考点具体考点。举一些典型例题来进行分析啊，来进行分析。