极点数为
\[Z = P - 2N = 2\]
所以,系统闭环不稳定,有两个正实部的闭环极点。
MATLAB 验证:作系统的开环幅相特性曲线,如图 5-109 所示;作闭环系统的单位阶跃响应,如图 5-110 所示。
MATLAB 文本:exe558.m
G=tf(10*[1,1],conv(conv([1,0],[1,2]),conv([1,3],[1,0,4])));
close=feedback(G,1);
figure(1);nyquist(G);
figure(2);step(close);grid;
图 5-109 系统开环幅相特性曲线(MATLAB)
图 5-110 闭环系统单位阶跃响应(MATLAB)
5-59 已知单位反馈系统开环传递函数为 \(G(s)=\dfrac{K(1+0.2s)(1+0.025s)}{s^3(1+0.001s)(1+0.005s)}\),试画出概略开环幅相特性曲线,并求出系统闭环稳定时 \(K\) 的取值范围。
解 系统的开环频率特性为
\[
G(\mathrm{j}\omega)=\frac{K(\mathrm{j}0.2\omega+1)(\mathrm{j}0.025\omega+1)}{-\mathrm{j}\omega^3(\mathrm{j}0.001\omega+1)(\mathrm{j}0.005\omega+1)}
\]
\[
=-\frac{K(0.219+2.8875\times10^{-5}\omega^2)}{\omega^2[1+(0.001\omega)^2][1+(0.005\omega)^2]}+\mathrm{j}\frac{K(1-3.655\times10^{-3}\omega^2+2.5\times10^{-8}\omega^4)}{\omega^3[1+(0.001\omega)^2][1+(0.005\omega)^2]}
\]
开环幅相特性曲线的起点为 \(G(\mathrm{j}0_+)=-\infty+\mathrm{j}\infty\),终点为 \(G(\mathrm{j}\infty)=0\)。
幅相特性曲线与实轴的交点:令 \(\mathrm{Im}[G(\mathrm{j}\omega)]=0\),解得
\[\omega_x=16.556,\quad G(\mathrm{j}\omega_x)=-8.2\times10^{-4}K\]
或
\[\omega_x=382.002,\quad G(\mathrm{j}\omega_x)=-5.7\times10^{-6}K\]
其中,\(\omega_x\) 为 \(G(\mathrm{j}\omega)\) 与实轴交点处的频率。开环幅相特性曲线在第Ⅱ和第Ⅲ象限间变化,如图 5-111所示。
因为 \(\upsilon=3\),在幅相曲线上 \(\omega=0_+\) 的对应点起逆时针补作 \(270°\)且半径为无穷大的虚圆弧。由于 \(G(s)\) 在 \(s\) 右半平面的极点数为 \(P=0\),由奈奎斯特判据可知,若使闭环系统稳定,则
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