图 2-3 质量-弹簧-摩擦系统原理图
图 2-4 机械系统原理图
解 根据力平衡方程,对 \(M_1\),\(M_2\) 分别采用隔离法列出方程
\[
\begin{cases}
F-K_1y_1-f_1\dot{y}_1+K_{12}(y_2-y_1)=M_1\ddot{y}_1 \\
-K_{12}(y_2-y_1)=M_2\ddot{y}_2
\end{cases}
\]
即
\[
\begin{cases}
F=M_1\ddot{y}_1+f_1\dot{y}_1+K_1y_1-K_{12}(y_2-y_1) \\
0=M_2\ddot{y}_2+K_{12}(y_2-y_1)
\end{cases}
\]
2-9 试列写图 2-5 所示机械系统的运动微分方程。
解 根据力平衡方程,可得
\[
\begin{cases}
F=M_1\ddot{x}_1+f_1\dot{x}_1+K_1x_1+f_{12}(\dot{x}_1-\dot{x}_2) \\
0=M_2\ddot{x}_2+f_2\dot{x}_2+K_2x_2+f_{12}(\dot{x}_2-\dot{x}_1)
\end{cases}
\]
图 2-5 机械系统原理图
2-10 设有一倒摆装在只能沿 \(x\) 方向移动的小车上,如图 2-6 所示。图中,\(M\) 为小车质量,\(m\) 为摆的质量,\(l\) 为摆长,\(J\) 为摆的转动惯量。当小车受到外力 \(u(t)\) 作用时,如果摆的角位移 \(\varphi(t)\) 较小,试推导描述 \(\varphi(t)\) 的运动方程。
解 当小车在外力 \(u(t)\) 作用下产生位移 \(x(t)\) 时,摆球的受力情况如图 2-7 所示。图中,\(mg\) 为重力,\(m\ddot{x}(t)\) 为 \(x\) 方向的惯性力,\(mg\sin\varphi(t)\) 为垂直于摆杆方向的重力分力。
显然,在 \(x\) 方向上,小车的惯性力为 \(M\ddot{x}(t)\),摆球产生的位移量为 \(x(t)+l\sin\varphi(t)\);在垂直于摆杆的方向上,摆球的转动惯性力为 \(J\ddot{\varphi}(t)\),\(m\ddot{x}(t)\) 的分力为 \(m\ddot{x}(t)\cos\varphi(t)\)。
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