4-38 题
已知系统开环传递函数 \(G(s)H(s)=\dfrac{K^*}{s(s+1)(s+10)}\)，若已知主导极点的实部为\(-0.2\)，试确定对应的 \(K^*\) 值。
解 系统的开环极点为 \(p_1=0,p_2=-1,p_3=-10\)，设主导极点为 \(s=-0.2+\mathrm{j}\omega\)，则 \(s\) 到开环极点的角度可由如下计算求得：
\[\theta_{sp_1}=180°-\arctan(\omega/0.2),\quad \theta_{sp_2}=\arctan(\omega/0.8),\quad \theta_{sp_3}=\arctan(\omega/9.8)\]
由闭环根轨迹的相角条件可得
\[\arctan(\omega/0.2)=\arctan(\omega/0.8)+\arctan(\omega/9.8)\]
因
\[\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot\tan\beta}\]
故可解得
\[\omega=\pm2.4\]
对应的 \(K^*\) 值可由根轨迹的幅值条件求得
\[K^*=61.52\]
仿真曲线如图 4-131 和图 4-132 所示。
MATLAB 程序：exe438.m
G=zpk([],[0 -1 -10],1); figure, rlocus(G); axis([-15 5 -9 9])
figure, rlocus(G); axis([-2 1 -5 5])
图 4-131 \(1+\dfrac{K^*}{s(s+1)(s+10)}=0\) 根轨迹图(MATLAB)
图 4-132 根轨迹上实部为\(-0.2\)的主导极点信息
4-39 题
设系统开环传递函数 \(G(s)H(s)=\dfrac{K^*}{s(s+25)(s^2+1000s+2600)}\)，试由根轨迹法确定 \(\zeta=0.5\) 时的闭环主导极点和对应的 \(K^*\) 值。
解 系统的开环传递函数
\[G(s)H(s)=\frac{K^*}{s(s+25)(s^2+1000s+2600)}=\frac{K^*}{s(s+25)(s+2.61)(s+997.39)}\]
① 根轨迹的分支和起点与终点：由于 \(n=4,m=0,n-m=4\)，故根轨迹有四条分支，其起点分别为 \(p_1=0,p_2=-2.61,p_3=-25,p_4=-997.39\)，其终点为无穷远处。
② 实轴上的根轨迹分布区：\([-2.61,0],[-25,-997.39]\)。
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