MATLAB程序：exe435.m
T=[0.2 0.1]; tau=[0.1 0.2];
for i=1:length(T), num1=[tau(i) 1]; den1=[T(i) 1]; num2=[1]; den2=[1 0 16 0];
[num den]=series(num1,den1,num2,den2); figure, rlocus(num,den); end
图 4-122 \(T>\tau>0\) 时，系统根轨迹图
\((T=0.2,\tau=0.1,\text{MATLAB})\)
图 4-123 \(\tau>T>0\) 时，系统根轨迹图
\((T=0.1,\tau=0.2,\text{MATLAB})\)
4-36 已知系统传递函数 \(G(s)H(s)=\dfrac{K^{*}(s+\tau)(s+2)}{s(s+1)(s^{2}+2s+2)}\)，为使根轨迹与虚轴无交点，试从渐近线出发确定参数 \(\tau\) 的值。
解 系统的开环传递函数为
\[G(s)H(s)=\frac{K^{*}(s+\tau)(s+2)}{s(s+1)(s^{2}+2s+2)}\]
系统的开环极点：\(p_1=0,p_2=-1,p_3=-1+\mathrm{j},p_4=-1-\mathrm{j}\)。
系统的开环零点：\(z_1=-\tau,z_2=-2\)。
根据根轨迹的绘制法则，可得根轨迹的渐近线
\[\sigma_a=\frac{-1-1-1+\tau+2}{4-2}=\frac{\tau-1}{2},\qquad \varphi_a=\pm\frac{\pi}{2}\]
由根轨迹的渐近线，以及根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，可以看出：欲使根轨迹与虚轴无交点，须有
\[\sigma_a=0.5\tau-0.5<0\quad\text{和}\quad \tau>0\]
则当 \(0<\tau<1\) 时，根轨迹与虚轴无交点。
仿真曲线如图4-124～图4-127所示。
MATLAB程序：exe436.m
tau=[0.2 0.8 1.5 -1];
for i=1:length(tau), num1=[1 tau(i)]; den1=[1 1 0]; num2=[1 2]; den2=[1 2 2];
[num,den]=series(num1,den1,num2,den2); figure(i), rlocus(num,den); end
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