因为\(\upsilon=2\),在幅相特性曲线上\(\omega=0_+\)的对应点起逆时针补作\(180°\)且半径为无穷大的虚圆弧。
由于\(G(s)\)在\(s\)右半平面的极点数\(P=1\),由奈奎斯特曲线知\(N_-=\dfrac{1}{2},N_+=0\),故
\[N=N_+-N_-=-\dfrac{1}{2}\]
应用奈奎斯特判据,算得\(s\)右半平面的闭环极点数为
\[Z=P-2N=2\]
所以,系统闭环不稳定,有两个正实部的闭环极点。
图5-105 题5-56系统的概略开环幅相特性曲线
系统的开环对数频率特性为
\[\begin{cases} L(\omega)=20\lg10-40\lg\omega \\ \varphi(\omega)=-360°+2\arctan\omega \end{cases}\]
开环对数幅频和相频特性曲线如图5-106所示。
图5-106 题5-56系统的开环对数幅频和相频特性曲线(MATLAB)
因为\(\upsilon=2\),故需要在对数相频特性的低频段曲线向上补作\(2\times90°\)的垂线。
在\(L(\omega)>0\)的频段内,其对数相频曲线半次穿越\((2k+1)\times180°(k=-1)\)线,且为负穿越,故\(N_-=\dfrac{1}{2},N_+=0\),则
\[N=N_+-N_-=-\dfrac{1}{2}\]
由于\(G(s)\)在\(s\)右半平面的极点数\(P=1\),于是闭环极点位于\(s\)右半平面的个数为
\[Z=P-2N=1-2\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)=2\]
所以,系统闭环不稳定,有两个正实部闭环极点。
MATLAB验证:系统闭环特征方程为\(D(s)=s^3-s^2+10s+10=0\),应用求根程序,可