第三章
线性系统的时域分析法
The Time Analysis of Linear Systems
第2部分
自动化系
===== 幻灯片 2 =====
稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。
对系统进行各类品质指标的分析也必须在系
统稳定的前提下进行。
问题
1.如何分析系统的稳定性?
2.提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基
本任务之一。
3.4 线性系统的稳定性分析
===== 幻灯片 3 =====
任何处于平衡状态下的系统，在扰动作用下，
系统要偏离原来平衡状态，使输出有偏差。
稳定性：指当扰动消失以后，系统可以以足够的
准确度，经过一段时间，可以恢复平衡状态的
性质，叫稳定性。相反，如果不能恢复平衡态
叫不稳定.
3.4 线性系统的稳定性分析
===== 幻灯片 4 =====
当t->∞，暂态->0,进入稳态，叫稳定。
线性系统的稳定性取决于系统的固有特征（结
构、参数），与系统的输入信号无关。
举例:稳定系统 举例:不稳定系统
绝对稳定性 相对稳定性
3.4 线性系统的稳定性分析
===== 幻灯片 5 =====
1.圆锥体
3.4 线性系统的稳定性分析
===== 幻灯片 6 =====
3.4 线性系统的稳定性分析
===== 幻灯片 7 =====
设线性系统在初始条件为0时，作用一个理
想脉冲 δ(t)
若t->∞时，脉冲响应
lim g(t) 0
t
(1)
输出增量收敛于原平衡工作点，则线性系统
是稳定的.
3.4 线性系统的稳定性分析
===== 幻灯片 8 =====
m
k (s zi )
i 1
C(s) φ(s).1 q r
2 2
(s p )
j (s 2ξkωk s ωk )
j 1 k 1
脉冲响应为：
2
q
p jt
r B k e ξ t cos(
k k
k 1 ξ k t)
g(t) A je
j 1 k 1
r c k B kξ k k 2
2
e ξ t sin(
k k
k 1 ξ k t) t 0
k 1
k 1 ξk
当且仅当系统的特征根全部具有负实部时
lim g(t) 0
t
3.4 线性系统的稳定性分析
===== 幻灯片 9 =====
闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面。
===== 幻灯片 10 =====
1.特征方程法：解特征方程，求出特征根
2.代数判据法：劳斯判据、赫尔维茨判据
3.根轨迹法： 图解法
4.频率稳定判据：乃奎斯特判据
稳定性只取决于闭环特征根(闭环极点）与
系统零点无关。
3.4 线性系统的稳定性分析
===== 幻灯片 11 =====
为零,行?
特征方程
a0 S n a1 S n 1 a 2 S n 2 a n 1 S a n 0 a0 0
稳定的必要条件：
特征方程中各项系数均为正数
判据：
稳定的充要条件：由特征方程各项系数所
构成的主行列式及其顺序主子式全部为正。
3.4 线性系统的稳定性分析
===== 幻灯片 12 =====
1.判据
当且仅当劳斯表第一列所有各值严格为正
时，系统稳定。如果劳斯表第一列出现小于0的
数值，系统不稳定。第一列符号改变次数，为特
征方程正实部根的数目。
2.劳斯表构成
3.4 线性系统的稳定性分析
===== 幻灯片 13 =====
===== 幻灯片 14 =====
将各项系数，按下面的格式排成劳斯表
Sn a0 a2 a4 a6 这
样
劳 S n 1 a1 a3 a5 a7 可
斯 求
S n2 b1 b2 b3 a4 得
表
n+1
S n 3 c1 c2 c3
构
成 行
系
数
S2 d1 d2 d3
S1 e1 e2
S0 f1
3.4 线性系统的稳定性分析
===== 幻灯片 15 =====
k
已知单位反馈系统 G(s)
s(s 1)(s 10)
k=50—250之间变化试分析系统的稳定性。
D(s) s3 11s 2 10s k 0
s3 1 10
s2 11 k
1 110 k
s 0
11
s0 k
3.4 线性系统的稳定性分析
===== 幻灯片 16 =====
（1）劳斯表某行第一个元素为0 ，而其他元
素不全为0；
解决：
法1：把0元素用任意小的正数ε 取代
法2：用（s+a）乘特征方程的两端，作为新
的特征方程（ a 为任意正数）
举例1
3.4 线性系统的稳定性分析
===== 幻灯片 17 =====
（2）劳斯表某一行的元素全为0
解决：
<1> 用全0 元素的上一行构造辅助方程
<2> 将辅助方程对s求导
<3> 由求导后方程的各项系统取代0元素
<4> 由辅助方程可求不稳定的根
举例动画2
3.4 线性系统的稳定性分析
===== 幻灯片 18 =====
当出现全零行时，表明特征方程中存在一些绝
对值相同，但符号相异的特征根。例两个大小相
等，但符号相反的实根或一对共轭纯虚根或对称于
实轴的两对共轭复根。
这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求
解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶
数的。相应方程中含有一些大小相等符号相反的
实根或共轭虚根。相应的系统为不稳定
3.4 线性系统的稳定性分析
===== 幻灯片 19 =====
（1）一、二阶系统稳定的充要条件：特征方程
的所有系数都为正；
（2）三阶系统稳定的充要条件：特征方程的所
有系数都为正且 a 1a 2 a 0 a 3 ；
（3）系统稳定的必要条件：特征方程的所有系
数必须存在且同号；
3.4 线性系统的稳定性分析
===== 幻灯片 20 =====
S 6 2 S 5 8S 4 12 S 3 20 S 2 16 S 16 0
列劳斯表
S6 1 8 20 16
S5 2 12 16 0
S4 2 12 16
F ( s) 2 s 4 12 s 2 16
S3 0 0 0
dF ( s )
8 24 8s 3 24 s
ds
S2 6 16
8 显然这个系
S1 0
3 j 2 , j2 统处于临界
S0 16 (不)稳定状
态。
F ( s ) 2 s 4 12 s 2 16 2( s 4 6 s 2 8) 2( s 2 2)( s 2 4) 0
3.4 线性系统的稳定性分析
===== 幻灯片 21 =====
1.主要用来判断线性定常系统，但不能表明特
征方程式的根在S平面上相对于虚轴的距离。
2.经过适当改造的劳斯判据，可用来检验系
统是否具有一定的稳定裕量，即相对稳定性。
3.可用来分析个别参数变化，尤其是开环增益对
系统稳定性的影响，从而选取合理参数。
3.4 线性系统的稳定性分析
===== 幻灯片 22 =====
设 s s1 a 代入原方程式中，得到以 s1
为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别
该方程中是否有根位于垂线 s a 右侧.
此法可以估计一个稳定系统的各根中最
靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统
稳定的“程度”。即稳定裕量或相对稳定性。
3.4 线性系统的稳定性分析
===== 幻灯片 23 =====
k
例1：单位反馈系统的开环传函为 G(s)
s(s/3 1)(s/6 1)
如要求闭环特征方程的实部均小于-1，问k
应取在什么范围？
K
例2：某单位反馈系统的开环传函为 G(s) s(s 2 s 1)(s 4)
求临界稳定的 k 值。
3.4 线性系统的稳定性分析
===== 幻灯片 24 =====
特征方程是代数方程，而且所有系数全为实数，
如任一系数是复数或方程包含了指数函数，不能
用routh判据。
3.4 线性系统的稳定性分析
===== 幻灯片 25 =====
3.12 3.13 3.14
===== 幻灯片 26 =====
系统稳定是前提
动态性能
控制系统的性能 稳态误差 ess
稳态性能
稳态误差：衡量系统的准确性能好坏，反映了系统
跟踪控制信号，抑制扰动信号能力。
稳态误差的不可避免性:
摩擦，不灵敏区，零位输出等非线性因素
输入函数的形式不同(阶跃、斜坡、或加速度)
3.5 线性系统的准确性分析
===== 幻灯片 27 =====
在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统;
有差系统：
在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差的系统;
本节主要讨论
不同系统结构--系统类型
不同输入作用方式
原理性稳态误差的计算方法
3.5 线性系统的准确性分析
===== 幻灯片 28 =====
(steady-state Error)
对于稳定系统，当其暂态响应分量衰减到足够小时
稳态响应的期望值与实际值的差，叫稳态误差。
R(s) E(s) C(s)
(1)从输入端定义 G(s)
B(s) -
H(s)
E(s) R(s) H(s)C(s)
控制系统框图
输入信号与主反馈信号的偏差，大多情况下
可测量，具有一定的物理意义。
3.5 线性系统的准确性分析
===== 幻灯片 29 =====
G(s)
B(s) -
(2)从输出端定义 H(s)
E (s) C s ( s) C (s)
输出的实际值
输出的希望值
通常不可量测的，只有数学上的意义
两种定义方法间有一定的联系，对于单位反馈系
统，两者是一致的。
如果 H(s) 1 输出量的希望值，即为输入量;
3.5 线性系统的准确性分析
===== 幻灯片 30 =====
E(s) 1 R(s) E(s) C(s)
Φe(s) G(s)
R(s) 1 H(s)G(s)
B(s) -
R(s) H(s)
E(s) Φe(s)R(s)
1 H(s)G(s)
e(t)L1[Φe(s)R(s)] 误差定义为误差信号的
稳态分量 ess(t)
e(t) ets(t) ess(t)
暂态分量 稳态分量
当 t- e ts(t)0 e(t) e 主控(t) e 扰动(t)
3.5 线性系统的准确性分析
===== 幻灯片 31 =====
1.终值定理，求稳态误差
输入形
公式 式
sR(s)
e ss lim e(t)lim sE(s)lim
t s0 s 0 1 H(s)G(s)
结构形式
公式条件：
sE(s)的极点均位于s左半平面（包括坐标原点）
如果 H(s) 1
sR(s)
e ss lim e(t)lim sE(s)lim
t s 0 s 0 1 G(s)
3.5 线性系统的准确性分析
===== 幻灯片 32 =====
（1）判稳
（2）求 er ( s ) 或 en ( s )
（3）用终值定理
局限制性：
（1）该法求出的是误差信号的稳态分量 e ss (t ) 在时
间 t 的值，不能反映 e ss (t ) 随时间变化规律。
（2）高阶系统极点不容易求，不便用终值定理。
3.5 线性系统的准确性分析
===== 幻灯片 33 =====
2.静态误差系数法（基于终值定理）
系统型别
设系统开环传递函数
m
K (τis 1)
nm
i 1
G(s)H(s) n μ
μ
s (Tjs 1)
j 1
系统中含有的积分环节数
0 0 型系统
1 Ⅰ型系统
2 Ⅱ型系统
K 开环增益 τi ,Tj 时间常数
3.5 线性系统的准确性分析
===== 幻灯片 34 =====
定，这种类型的系统在控制工程中，一般不会碰到；
注意：
系统类型(type)与系统的阶数(order)的区别
下面讨论不同型别系统、在不同输入信号作
用下的稳态误差计算。
3.5 线性系统的准确性分析
===== 幻灯片 35 =====
sR(s) 1 1
e ss lim sE ( s ) lim
s 0 s 0 1 H(s)G(s) 1 limG(s)H(s ) 1 K p
s0
令 K p limG(s)H(s )
s0 Kp 稳态位置误差系数
1
(a) 0型系统 Kp k ess lim 0
s 0 1 k
(b)Ⅰ型及Ⅰ型以上系统
1
Kp ess lim 0
s0 1 K
p
要求阶跃作用下不存在稳态误差，则必须选用Ⅰ型
及Ⅰ型以上的系统;
3.5 线性系统的准确性分析
===== 幻灯片 36 =====
r(t)t R(s)1/s 2
1 1 1 1 1
e ss lim s . 2 lim lim
s 0
1 G(s)H(s) s s 0
s1 G(s)H(s) s 0 sG(s)H(s) K v
K v limsG(s)H( s) 稳态速度误差系数
s 0
0 0
Kv= k 1 ess= 1/ k
2 0
3.5 线性系统的准确性分析
===== 幻灯片 37 =====
(1).0型系统在稳态时不能跟踪斜坡输入
(2).Ⅰ型系统稳态输出速度恰好与输入速度相同，但存
在一个位置误差
(3).Ⅱ型及Ⅱ型以上的系统，稳态时能准确跟踪斜坡输
入信号，不存在位置误差。
3.5 线性系统的准确性分析
===== 幻灯片 38 =====
1 1 1
e ss lim s 3 lim 2
s0 1 G(s)H(s) s s 0 s 1 G(s)H(s)
1 1
lim
s 0 s 2 G(s)H(s)
令 K a lims 2 G(s)H(s)
Ka s0
Ka 稳态加速度误差系数
（static acceleration error constant）
0 μ 0,1
1
K a k μ 2 e ss
k
μ 3 0
3.5 线性系统的准确性分析
===== 幻灯片 39 =====
(1).0型及Ⅰ型系统在稳态时不能跟踪加速度
输入信号。
(2).Ⅱ型系统稳态时输出的加速度与输入的加
速度相同，但存在一定的位置误差。
(3).Ⅲ及Ⅲ型以上系统，其稳态输出能准确跟
踪加速度信号，不存在位置误差。
3.5 线性系统的准确性分析
===== 幻灯片 40 =====
（1）两个相同系统，输入信号不同，则稳态误差不同，
故稳态误差跟外界输入信号有关。
（2）稳态误差跟系统类型有关，跟结构及参数有关;
（3）K ess 准 稳
（4）各误差都是位置量纲的
（5）不同类型系统所跟踪的信号是不一样的
3.5 线性系统的准确性分析
===== 幻灯片 41 =====
（6）不同类型系统所能跟踪的信号是不一样的;
（7）系数反映系统消除稳态误差能力的大小，因此稳态
误差系数越大越好。
（8）类型越高，误差越小;
局限性
（1）只适用于三种给定信号;
（2）只能计算 t 稳态误差的终值;
3.5 线性系统的准确性分析
===== 幻灯片 42 =====
误差系数
静态位置 静态速度 静态加速
误差系数 误差系数 度误差系
类型 数
Kp Kv Ka
0型 K 0 0
Ⅰ型 ∞ K 0
Ⅱ型 ∞ ∞ K
系统型别
e ss 与 K 开环增益 有关
R(s) 输入信号
3.5 线性系统的准确性分析
===== 幻灯片 43 =====
ess 输入
r (t ) R0 r (t ) v0 t r (t ) 1 a t 2
0
类型 2
R0
0型 1 K ∞ ∞
v0
Ⅰ型 0 K ∞
a0
Ⅱ型 0 0 K
3.5 线性系统的准确性分析
===== 幻灯片 44 =====
可求任意时刻、任意输入函数作用的稳态误差
E(s) 1
Φ e(s)
R(s) 1 H(s)G(s)
将误差传函在s=0的邻域内展成台劳级数得:
1 1 (l)
Φ e(s) Φ e(0) Φ 'e(0 )s Φ' 'e (0)s 2 ........ Φ e(0)s l ...
2! l!
1
E(s) Φ e(s)R(s) Φ e(0)R(s) Φ 'e(0)sR(s) Φ' 'e (0)s 2
R(s)
2!
1
........ Φ (l) e(0)s l
R(s) ...
l!
3.5 线性系统的准确性分析
===== 幻灯片 45 =====
1
e(t) Φe(0)r(t) Φ'e(0)r(t) Φ''e (0)r(t) ....... .
2!
c 0 Φ e(0)
(i)
' Φ (0)
c 1 Φ e (0) ci e
i!
1 ''
c2 Φ e (0) ci动态误差系数
2!
(1)误差由输入信号及各阶导数造成
(2)因输入信号已知，关键是求Ci
3.5 线性系统的准确性分析
===== 幻灯片 46 =====
E(s)
(1)写出 Φ e (s)
R(s)
(2)把分子、分母分别按s的升幂排列，相除，商仍以
升幂排列 ，可得Ci
M(s)
Φ e(s) c 0s 0 c 1s c 2 s 2 ......
N(s)
假设过渡过程时间，相对于信号变动时间可忽
略，该方法可以求任意时刻的误差。
3.5 线性系统的准确性分析
===== 幻灯片 47 =====
k
例1. 已知单位反馈系统 G(s) 求动态误差系数
Ts 1
10 10
例2. 两个单位反馈系统： G 1(s) G 2(s)
s(s 1) s(0.2s 1)
比较两个系统在 r(t)=t+t2 误差的大小.
100
例3. 单位反馈系统 G(s) ，若r(t) sin5t 试求系
s(0.1s 1)
统的稳态误差 ess(t).
3.5 线性系统的准确性分析
===== 幻灯片 48 =====
N(s)
R(s) E(s) C(s)
G1(s) G2(s)
B(s) -
系统对某种输入信号作用的稳态误差为0，但对同
一形式的扰动作用，其稳态误差未必为0，因扰动信号
与控制信号的作用点不同。
3.5 线性系统的准确性分析
===== 幻灯片 49 =====
Φen(s)
N(s) 1 G 1(s)G 2(s)
C(s) G 2(s)
Φn(s)
N(s) 1 G 1(s)G 2(s)
G 2 ( s)
E(s) R(s)- C(s) -C(s) - N ( s)
1 G1 ( s )G2 ( s )
G 2 (s)
E(s) en ( s ) N ( s ) - N (s)
1 G1 ( s )G2 ( s )
由扰动造成的输出均是误差
===== 幻灯片 50 =====
- G2 1 G2
e sn(s) lim sE(s) lim s lim
s 0 s 0
1 G 1G 2 s 1 G 1G 2
s 0
1
G 1(s)G 2(s) 1
esn
G 1(s)
===== 幻灯片 51 =====
2. 当G1(s)中含有一个积分环节时,即扰动信号施加点
以前的前向通道有积分环节时, 还可消除扰动的
误差.
3. 如果 s 设置于扰动施加以前,则对扰动误差与给
定误差都可以减少.
===== 幻灯片 52 =====
新书P 110 旧书 115页
G 2(s)H(s)
E n(s)- E n(s) Cn ( s ) N ( s)
1 G 1(s)G 2(s)H ( s )
分子缺H(s)
===== 幻灯片 53 =====
（减小或消除稳态误差的措施）
1 增大系统的开环放大倍数
2 提高 μ
3 复合控制
（1）增加按给定输入的顺馈控制
（2) 增加按扰动输入的顺馈控制
特点:
(1) 实现部分补偿
(2) 不影响闭环特征方程,故稳定性不变
(3)减少闭环控制的负担
3.5 线性系统的准确性分析
===== 幻灯片 54 =====
1. 系统sys
是由tf()、zpk()生成的传递函数对象，也可以是状态
空间模型，或者直接采用分子、分母多项式的形式，
即：
sys=tf(num,den);step(sys)
step(A,B,C,D);
step(num,den);
3.5 线性系统的准确性分析
===== 幻灯片 55 =====
2．单位阶跃响应函数step()
(1) step(sys) 计算单位阶跃响应，绘制阶跃响应曲线，曲线的时间
范围根据系统响应情况自动确定 .
(2) step(sys, Tfinal)
计算由0时刻至t=Tfinal的响应，并绘制曲线
(3) [Y,T,X]=step(sys)
按给定时间向量T计算并绘制系统sys的响应
(4) step(sys1,sys2,….T)
多个系统的单位阶跃响应
阶跃响应性能指标的计算，可以通过在阶跃响应曲线上右
击鼠标获得 .
3.5 线性系统的准确性分析
===== 幻灯片 56 =====
3．求单位脉冲响应函数impulse()
4. 任意输入作用下输出量仿真函数lsim()
lsim(sys,U,T) 计算sys对由U、T描述的输入信号的响
应，并相应的绘制曲线
例 t = 0:0.01:5; u = sin(t); lsim(sys,u,t)
在正弦信号作下，5秒内的响应
y=lsim(sys,U,T)
将仿真输出赋给变量y，不绘制曲线
3.5 线性系统的准确性分析
===== 幻灯片 57 =====
3.17 3.18
===== 幻灯片 58 =====