题海 · pdf-page · p.539
\[
[s\boldsymbol{I}-(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}\boldsymbol{K}),\boldsymbol{B}]=[(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}),\boldsymbol{B}]\begin{bmatrix} \boldsymbol{I} & 0 \\ -\boldsymbol{K} & \boldsymbol{I} \end{bmatrix}
\]
其中，\(\begin{bmatrix} \boldsymbol{I} & 0 \\ -\boldsymbol{K} & \boldsymbol{I} \end{bmatrix}\)非奇异，则\(\mathrm{rank}[s\boldsymbol{I}-(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}\boldsymbol{K}),\boldsymbol{B}]=\mathrm{rank}[(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}),\boldsymbol{B}]=n\)。所以\((\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}\boldsymbol{K},\boldsymbol{B})\)对所有\(\boldsymbol{K}\)均可控。必要性得证。
9-58 试证明巴斯-格拉（Bass-Gura）公式：设单输入线性系统\((\boldsymbol{A},\boldsymbol{b})\)的特征多项式为
\[
f(\lambda)=\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+a_2\lambda^{n-2}+\cdots+a_{n-1}\lambda+a_n
\]
欲使施加状态反馈后闭环系统\((\boldsymbol{A}+\boldsymbol{b}\boldsymbol{k},\boldsymbol{b})\)的特征多项式形如
\[
f_k(\lambda)=\lambda^n+f_1\lambda^{n-1}+f_2\lambda^{n-2}+\cdots+f_{n-1}\lambda+f_n
\]
则状态反馈增益\(\boldsymbol{k}\)的计算公式为
\[
\boldsymbol{k}=(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{f})(\boldsymbol{P}_c\boldsymbol{P}_r)^{-1}
\]
其中
\[
\boldsymbol{a}=[a_1 \quad a_2 \quad \cdots \quad a_{n-1} \quad a_n]
\]
\[
\boldsymbol{f}=[f_1 \quad f_2 \quad \cdots \quad f_{n-1} \quad f_n]
\]
\[
\boldsymbol{P}_c=[\boldsymbol{b} \quad \boldsymbol{A}\boldsymbol{b} \quad \boldsymbol{A}^2\boldsymbol{b} \quad \cdots \quad \boldsymbol{A}^{n-1}\boldsymbol{b}]
\]
\[
\boldsymbol{P}_r=\begin{bmatrix}
1 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1} \\
0 & 1 & a_1 & \cdots & a_{n-3} & a_{n-2} \\
0 & 0 & 1 & \cdots & a_{n-4} & a_{n-3} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
证明 对于系统\(\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}u\)，取相似变换\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{T}\boldsymbol{x}_c\)，其中
\[
\boldsymbol{T}=\boldsymbol{P}_c\boldsymbol{P}_r=\left[\boldsymbol{b} \quad a_1\boldsymbol{b}+\boldsymbol{A}\boldsymbol{b} \quad \cdots \quad \sum_{i=0}^{n-2}a_{n-i-2}\boldsymbol{A}^i\boldsymbol{b} \quad \sum_{i=0}^{n-1}a_{n-i-1}\boldsymbol{A}^i\boldsymbol{b}\right] \tag{a}
\]
由于系数矩阵\((\boldsymbol{A},\boldsymbol{b})\)和\((\boldsymbol{A}_c,\boldsymbol{b}_c)\)满足的关系是\(\boldsymbol{b}=\boldsymbol{T}\boldsymbol{b}_c\)，\(\boldsymbol{A}\boldsymbol{T}=\boldsymbol{T}\boldsymbol{A}_c\)，可知\(\boldsymbol{b}\)是\(\boldsymbol{T}\)的第一列，同时有
\[
\boldsymbol{T}\boldsymbol{b}_c=\boldsymbol{b}=\boldsymbol{T}\boldsymbol{e}_1=\boldsymbol{T}[1 \quad 0 \quad \cdots \quad 0]^{\mathrm{T}}
\]
因此\(\boldsymbol{b}_c=\boldsymbol{e}_1\)。由（a）式的第一列开始，往后逐列递推，可以导出\(\boldsymbol{A}_c\)的形式。将\(\boldsymbol{A}\)左乘（a）式两边
\[
\boldsymbol{A}\boldsymbol{T}=\left[\boldsymbol{A}\boldsymbol{b} \quad a_1\boldsymbol{A}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{A}^2\boldsymbol{b} \quad \cdots \quad \sum_{i=0}^{n-2}a_{n-i-2}\boldsymbol{A}^{i+1}\boldsymbol{b} \quad \sum_{i=0}^{n-1}a_{n-i-1}\boldsymbol{A}^{i+1}\boldsymbol{b}\right]
\]
\[
\boldsymbol{T}\boldsymbol{A}_c\boldsymbol{e}_1=\boldsymbol{A}\boldsymbol{T}\boldsymbol{e}_1=\boldsymbol{A}\boldsymbol{b}=(\boldsymbol{A}\boldsymbol{b}+a_1\boldsymbol{b})-a_1\boldsymbol{b}=\boldsymbol{T}(\boldsymbol{e}_2-a_1\boldsymbol{e}_1)
\]
所以\(\boldsymbol{A}_c\boldsymbol{e}_1=\boldsymbol{e}_2-a_1\boldsymbol{e}_1\)。同样，矩阵\(\boldsymbol{A}\boldsymbol{T}\)的第二列也是\(\boldsymbol{T}\boldsymbol{A}_c\)的第二列，有\(\boldsymbol{A}_c\boldsymbol{e}_2=\boldsymbol{e}_3-a_2\boldsymbol{e}_1\)。以此类推，可得可控标准型的形式为
\[
\boldsymbol{A}_c=\begin{bmatrix}
-a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} & -a_n \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & 0
\end{bmatrix}
,\quad
\boldsymbol{b}_c=\begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
\end{bmatrix}
\]