第五章 频率响应法
5-1 试求图5-1(a)和(b)网络的频率特性。
图5-1 微分网络和积分网络电路图
（(a) 微分网络，(b) 积分网络）
解 图5-1网络的频率特性可推导如下。
(1) 由微分网络图5-1(a)可得方程：
\[\frac{u_o}{R_2} = \frac{u_i - u_o}{R_1} + C\frac{\mathrm{d}(u_i - u_o)}{\mathrm{d}t}\]
两边在零初始状态下，同时进行拉普拉斯变换，得
\[\frac{U_o(s)}{R_2} = \frac{U_i(s) - U_o(s)}{R_1} + Cs[U_i(s) - U_o(s)]\]
整理可得
\[\frac{U_o(s)}{U_i(s)} = \frac{R_2(R_1Cs+1)}{R_1+R_2+R_1R_2Cs} = \frac{R_2}{R_1+R_2} \cdot \frac{1+R_1Cs}{1+\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}Cs}\]
故该网络的频率特性为
\[\frac{U_o(\mathrm{j}\omega)}{U_i(\mathrm{j}\omega)} = \frac{R_2}{R_1+R_2} \cdot \frac{1+\mathrm{j}R_1C\omega}{1+\mathrm{j}\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}C\omega}\]
(2) 由积分网络图5-1(b)可得方程：
\[C\frac{\mathrm{d}\left(u_o - \dfrac{u_i - u_o}{R_1} \cdot R_2\right)}{\mathrm{d}t} = \frac{u_i - u_o}{R_1}\]
两边在零初始状态下同时进行拉普拉斯变换，得
\[Cs\left[U_o(s) - \frac{U_i(s) - U_o(s)}{R_1} \cdot R_2\right] = \frac{U_i(s) - U_o(s)}{R_1}\]
整理可得
\[\frac{U_o(s)}{U_i(s)} = \frac{1+R_2Cs}{1+(R_1+R_2)Cs}\]
故该网络的频率特性为
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