\[y=\begin{bmatrix}0 & 1\end{bmatrix}\boldsymbol{x}\]
当 \(a=5.5,b=6\) 时,\(G(s)\) 可约简为
\[G_3(s)=\frac{s+1.5}{(s+1)(s+2)}=\frac{Y(s)}{U(s)}\]
此时,\(G_3(s)\) 既可控又可观测。为 \(G(s)\) 的最小实现,阶数为2,相应的可观测标准型状态方程组为
\[\dot{\boldsymbol{x}}=\begin{bmatrix}0 & -2\\1 & -3\end{bmatrix}\boldsymbol{x}+\begin{bmatrix}1.5\\1\end{bmatrix}u,\quad y=\begin{bmatrix}0 & 1\end{bmatrix}\boldsymbol{x}\]
(3) MATLAB 验证。最后,利用下列 MATLAB 程序验证可知上述计算正确。
MATLAB 程序:exe933.m
a=5;b=6;num=[1 a b];den=conv(conv([1 1],[1 2]),[1 4]);
sys=tf(num,den);minsys=minreal(sys);
[num2,den2]=tfdata(minsys,'v');
[A,B,C,D]=tf2ss(num2,den2)
[A2,B2,C2,D2]=normal_obsver(A,B,C,D)
9-34 设系统的动态方程
\[\dot{\boldsymbol{x}}=\begin{bmatrix}-1 & 0 & 0 & 0\\0 & -2 & 0 & 0\\0 & 0 & -3 & 0\\0 & 0 & 0 & -4\end{bmatrix}\boldsymbol{x}+\begin{bmatrix}1\\0\\1\\0\end{bmatrix}u,\quad y=\begin{bmatrix}0 & 0 & 2 & 1\end{bmatrix}\boldsymbol{x}\]
要求:(1) 写出系统的规范分解动态方程;(2) 求系统不可简约的传递函数 \(G(s)\)。
解 (1) 根据对角型系统的可控和可观测性判据,可知
可控变量: \(x_1,x_3\);\(\qquad\qquad\)不可控变量: \(x_2,x_4\)
可观测变量:\(x_3,x_4\);\(\qquad\qquad\)不可观测变量:\(x_1,x_2\)
综上所述可得,\(x_3\) 为可控且可观测变量,\(x_1\) 为可控但不可观测变量,\(x_4\) 为不可控但可观测变量,\(x_2\) 为不可控且不可观测变量。因此,通过变换阵 \(\boldsymbol{T}\) 重新调整 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\) 的行列次序可得系统的规范动态方程为
\[\dot{\boldsymbol{x}}=\begin{bmatrix}\dot{x}_{co}\\\dot{x}_{c\bar{o}}\\\dot{x}_{\bar{c}o}\\\dot{x}_{\bar{c}\bar{o}}\end{bmatrix}=\boldsymbol{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{T}^{-1}x+\boldsymbol{T}bu=\begin{bmatrix}-3 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & -4 & 0\\0 & 0 & 0 & -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{co}\\x_{c\bar{o}}\\x_{\bar{c}o}\\x_{\bar{c}\bar{o}}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\1\\0\\0\end{bmatrix}u\]
\[y=\boldsymbol{c}\boldsymbol{T}^{-1}x=\begin{bmatrix}2 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{co}\\x_{c\bar{o}}\\x_{\bar{c}o}\\x_{\bar{c}\bar{o}}\end{bmatrix}\]
其中
\[\boldsymbol{T}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix}\]