则传递函数向量
\[
g(s)=c(sI-A)^{-1}B+d=\left[\frac{s^2-45s-18}{s^3+6s^2+11s+6}\quad \frac{s^2-91s-30}{s^3+6s^2+11s+6}\right]
\]
(3) 系统(3)的传递函数矩阵。由于
\[
(sI-A)^{-1}=\frac{1}{s^3-3s-2}\begin{bmatrix}s^2-3 & s & 1\\2 & s^2 & s\\2s & 3s+2 & s^2\end{bmatrix}
\]
则传递函数矩阵
\[
G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D=\begin{bmatrix}\dfrac{-2s^2+2s+4}{s^3-3s-2} & \dfrac{2s^2-2s-3}{s^3-3s-2}\\[2mm]\dfrac{2s^2-2s-3}{s^3-3s-2} & \dfrac{-2s^2+2s+4}{s^3-3s-2}\end{bmatrix}
\]
(4) 系统(4)的传递函数矩阵。由于
\[
(sI-A)^{-1}=\frac{1}{(s+1)(s+2)}\begin{bmatrix}s+3 & 1\\-2 & s\end{bmatrix}
\]
则传递函数矩阵
\[
G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D=\begin{bmatrix}\dfrac{3(s+3)}{(s+1)(s+2)} & \dfrac{1}{s+1}\\[2mm]\dfrac{2}{s+2} & \dfrac{1}{s+2}\\[2mm]-\dfrac{3}{s+1} & \dfrac{-1}{s+2}\end{bmatrix}
\]
(5) MATLAB验证。最后由下列MATLAB程序验证可知,上述计算结果正确。
MATLAB程序:exe921.m
%(1)
A1=[-2 2 1;0 -2 0;1 -4 0];b1=[0 0 -1]';c1=[1 -1 1];d1=1;
inv(s*eye(length(A1))-A1)
[num1,den1]=ss2tf(A1,b1,c1,d1)
%(2)
A2=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6];B2=[2 6;3 5;1 1];c2=[0 0 1];d2=[0 0];
inv(s*eye(length(A2))-A2)
[num21,den21]=ss2tf(A2,B2,c2,d2,1);
[num22,den22]=ss2tf(A2,B2,c2,d2,2);
num2=[num21 num22]
den2=den21
9-22 一个运行在圆形赤道上方的人造地球卫星的线性动态方程为
\[
\dot{x}=Ax+Bu=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\3\omega^2 & 0 & 0 & 2\omega\\0 & 0 & 0 & 1\\0 & -2\omega & 0 & 0\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0 & 0\\1 & 0\\0 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}u
\]
\[
y=Cx=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}x
\]
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