题海 · 题解 · p.496
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\[
\boldsymbol{x}(t)=\mathrm{e}^{\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{x}(0)=\begin{bmatrix}1 & t & \dfrac{1}{2}t^2 \\ 0 & 1 & t \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+t+t^2\\1+2t\\2\end{bmatrix}
\]
9-15 求下列齐次状态方程的解。
(1) \(\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\begin{bmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(t)\), \(\boldsymbol{x}(0)=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\); (2) \(\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\begin{bmatrix}\sigma & \omega\\\omega & -\sigma\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(t)\), \(\boldsymbol{x}(0)=\begin{bmatrix}\sigma\\\omega\end{bmatrix}\)。
解 由于齐次线性方程的解的形式为 \(\boldsymbol{x}(t)=\mathrm{e}^{\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{x}(0)\),故需先求状态转移矩阵 \(\mathrm{e}^{\boldsymbol{A}t}\)。
(1) 由于
\[
\mathrm{e}^{\boldsymbol{A}t}=\mathscr{L}^{-1}\left[(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}\right]=\mathscr{L}^{-1}\begin{bmatrix}\dfrac{s}{s^2+1} & \dfrac{1}{s^2+1}\\[2mm] -\dfrac{1}{s^2+1} & \dfrac{s}{s^2+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos t & \sin t\\-\sin t & \cos t\end{bmatrix}
\]
因此 \(\boldsymbol{x}(t)=\mathrm{e}^{\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{x}(0)=\begin{bmatrix}\cos t+\sin t\\\cos t-\sin t\end{bmatrix}\)
(2) 由于
\[
(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}=\begin{bmatrix}s-\sigma & -\omega\\-\omega & s+\sigma\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}\dfrac{s+\sigma}{(s-\sigma)(s+\sigma)-\omega^2} & \dfrac{\omega}{(s-\sigma)(s+\sigma)-\omega^2}\\[3mm] \dfrac{\omega}{(s-\sigma)(s+\sigma)-\omega^2} & \dfrac{s-\sigma}{(s-\sigma)(s+\sigma)-\omega^2}\end{bmatrix}
\]
因此 \(\mathrm{e}^{\boldsymbol{A}t}=\mathscr{L}^{-1}\left[(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}\right]\)
\[
=\mathscr{L}^{-1}\begin{bmatrix}\dfrac{a}{s-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}+\dfrac{c}{s+\sqrt{\sigma^2+\omega^2}} & \dfrac{b}{s-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}-\dfrac{b}{s+\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}\\[3mm] \dfrac{b}{s-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}-\dfrac{b}{s+\sqrt{\sigma^2+\omega^2}} & \dfrac{c}{s-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}+\dfrac{a}{s+\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}\end{bmatrix}
\]
\[
=\begin{bmatrix}a\mathrm{e}^{\sqrt{\sigma^2+\omega^2}\,t}+c\mathrm{e}^{-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}\,t} & b\mathrm{e}^{\sqrt{\sigma^2+\omega^2}\,t}-b\mathrm{e}^{-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}\,t}\\ b\mathrm{e}^{\sqrt{\sigma^2+\omega^2}\,t}-b\mathrm{e}^{-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}\,t} & c\mathrm{e}^{\sqrt{\sigma^2+\omega^2}\,t}+a\mathrm{e}^{-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}\,t}\end{bmatrix}
\]
其中 \(a=\dfrac{\sigma+\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}{2\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}\)，\(b=\dfrac{\omega}{2\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}\)，\(c=\dfrac{\sqrt{\sigma^2+\omega^2}-\sigma}{2\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}\)
则
\[
\boldsymbol{x}(t)=\mathrm{e}^{\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{x}(0)=\begin{bmatrix}\dfrac{\sigma^2+\omega^2+\sigma\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}{2\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}\mathrm{e}^{\sqrt{\sigma^2+\omega^2}\,t}-\dfrac{\sigma^2+\omega^2-\sigma\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}{2\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}\mathrm{e}^{-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}\,t}\\[3mm] \dfrac{\omega}{2}\left(\mathrm{e}^{\sqrt{\sigma^2+\omega^2}\,t}+\mathrm{e}^{-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}\,t}\right)\end{bmatrix}
\]
(3) MATLAB 验证。最后，利用 MATLAB 验证可知，上述计算结果正确。
MATLAB 程序：exe915.m
syms s
A1=[0 1;-1 0];x10=[1 1]';n1=length(A1);
phi1=ilaplace(inv(s*eye(n1)-A1));x1=phi1*x10
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