4-35 设控制系统如图 4-119 所示,试分析 \(T>\tau>0\) 或 \(0<T<\tau\) 对系统根轨迹的影响,并绘制相应的根轨迹图。

图 4-119　控制系统结构图

解　根据控制系统结构图,可得开环传递函数为

其中,\(K^*=K\tau/T\)。

① 根轨迹的分支和起点与终点:由于 \(n=4,m=1,n-m=3\),故根轨迹有四条分支,其起点分别为 \(p_1=0,p_2=-1/T,p_3=4\mathrm{j},p_4=-4\mathrm{j}\),其终点分别为 \(z_1=1/\tau\) 和无穷远处。

② 根轨迹的渐近线:\(\sigma_a=\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{1}{T}+\dfrac{1}{\tau}\right)\),　\(\varphi_a=\pm\dfrac{\pi}{3},\pi\)。

③ 实轴上的根轨迹:

\(T>\tau>0\),即 \(\dfrac{1}{\tau}>\dfrac{1}{T}>0\) 时,实轴上的根轨迹分布区为 \(\left(-\infty,-\dfrac{1}{\tau}\right],\left[0,-\dfrac{1}{T}\right]\)。

由根轨迹绘制法则可知,此时根轨迹具有实数分离点,其概略根轨迹图如图 4-120 所示。

\(\tau>T>0\),即 \(\dfrac{1}{T}>\dfrac{1}{\tau}>0\) 时,实轴上的根轨迹分布区为 \(\left[-\dfrac{1}{T},-\infty\right),\left[0,-\dfrac{1}{\tau}\right]\)。

由根轨迹绘制法则可知,此时根轨迹没有实数分离点,其概略根轨迹图如图 4-121 所示。

因此,当 \(T>\tau>0\) 时,系统可能具有负实部闭环复极点,而 \(\tau>T>0\) 时,系统没有负实部闭环复极点。

仿真曲线如图 4-122、图 4-123 所示。

图 4-120　\(T>\tau>0\) 时,系统概略根轨迹图

图 4-121　\(\tau>T>0\) 时,系统概略根轨迹图

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