图6-68 速度反馈校正系统结构图
\[K_t=\frac{2\zeta\omega_n}{10}=0.348\]
其对应的系统超调量为
\[\sigma\%=100e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\%=12.6\%<15\%\]
满足设计要求。
6-22 设某单位反馈系统开环传递函数为 \(G(s)=\dfrac{K}{s(s+1)(0.5s+1)}\),输入信号 \(r(t)=t\)。要求:(1) 确定使系统相角裕度 \(\gamma=40°\) 的 \(K\) 值,并计算系统稳态误差 \(e_{ss}(\infty)\);(2) 设计串联滞后校正网络 \(G_c(s)\) 及 \(K\) 值,使校正后系统的 \(e_{ss}(\infty)=0.2\),\(\gamma\geqslant 40°\)。
解 (1) 确定待校正系统 \(K\) 值。
由题要求,待校正系统的相角裕度
\[\gamma=180°-90°-\arctan\omega_c'-\arctan 0.5\omega_c'=40°\]
利用三角函数求和公式,有
\[90°-\arctan\left(\frac{\omega_c'+0.5\omega_c'}{1-0.5(\omega_c')^2}\right)=40°\]
算得
\[(\omega_c')^2+2.517\omega_c'-2=0\]
\[\omega_c'=0.635\]
在待校正系统的对数幅频特性上,系统各环节的交接频率 \(\omega_1=1\) 和 \(\omega_2=2\),均大于截止频率 \(\omega_c'\),故该 \(\omega_c'\) 值必为低频段\(-20\text{dB/dec}\)直线与\(\omega\)轴的直接交点,也必有
\[K=\omega_c'=0.635\]
系统在斜坡函数作用下的稳态误差
\[e_{ss}(\infty)=\frac{1}{K}=1.575\]
(2) 串联滞后网络设计。
由于要求 \(e_{ss}(\infty)=1/K=0.2\),选 \(K=5\),则待校正系统为
\[G(s)=\frac{5}{s(1+s)(1+0.5s)}\]
此时,\(\omega_c'\neq 0.635\),\(\gamma'\neq 40°\)。
选滞后网络
\[G_c(s)=\frac{1+bTs}{1+Ts},\quad b<1\]
其对数幅频特性如图6-69所示。
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