题海 · pdf-page · p.104
解 根据静态误差系数的定义式可得
\[K_p=\lim_{s\to 0}G(s)H(s)=\lim_{s\to 0}\frac{K}{s(0.1s+1)(0.5s+1)}=\infty\]
\[K_v=\lim_{s\to 0}s\cdot G(s)H(s)=\lim_{s\to 0}s\cdot\frac{K}{s(0.1s+1)(0.5s+1)}=K\]
\[K_a=\lim_{s\to 0}s^2\cdot G(s)H(s)=\lim_{s\to 0}s^2\cdot\frac{K}{s(0.1s+1)(0.5s+1)}=0\]
由系统的开环函数可知该系统为Ⅰ型系统,故在输入\(r(t)=2t\)时,系统的稳态误差
\[e_{ss}(\infty)=R/K_v=2/K\]
3-26 设单位反馈系统的开环传递函数为\(G(s)=\dfrac{K(\tau s+1)}{s^2(Ts+1)}\),输入\(r(t)=t^2\)。试求系统稳态误差\(e_{ss}(\infty)\leqslant\varepsilon_0\)时,系统各正参数应保持的关系。
解 由于系统为单位负反馈系统,根据开环传递函数可得闭环系统的特征方程为
\[D(s)=s^2(Ts+1)+K(\tau s+1)=Ts^3+s^2+\tau Ks+K=0\]
由赫尔维茨判据可知,\(n=3\),若要求系统是稳定的,须有
(1) 各项系数\(a_0=T,a_1=1,a_2=\tau K,a_3=K\)均要为正;
(2) \(a_1a_2-a_0a_3=\tau K-TK>0\)。
又根据题设条件,各参数为正。故当\(\tau>T\)时,系统是稳定的。
由\(G(s)\)可知,系统是Ⅱ型系统,且\(K_a=K\)。故在输入\(r(t)=t^2\)时,系统的稳态误差
\[e_{ss}(\infty)=R/K_a=2/K\leqslant\varepsilon_0\]
即
\[K\geqslant 2/\varepsilon_0\]
故当要求系统稳态误差\(e_{ss}(\infty)\leqslant\varepsilon_0\)时,系统各正参数应保持的关系为\(\tau>T\)和\(K\geqslant 2/\varepsilon_0\)。
3-27 设闭环传递函数的一般形式为
\[\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}=\frac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}\]
误差定义取\(e(t)=r(t)-c(t)\)。试证明:
(1) 系统在阶跃信号输入下,稳态误差为零的充分条件是
\[\Phi(s)=\frac{a_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}\]
(2) 系统在斜坡信号输入下,稳态误差为零的充分条件是
\[\Phi(s)=\frac{a_1s+a_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}\]
(3) 推导系统在加速度信号输入下,稳态误差为零的充分条件。
证明 根据误差定义可知,系统的误差传递函数为
\[\Phi_e(s)=\frac{E(s)}{R(s)}=\frac{R(s)-C(s)}{R(s)}=1-\Phi(s)\]
\[=\frac{(a_0-b_0)+(a_1-b_1)s+\cdots+(a_m-b_m)s^m+a_{m+1}s^{m+1}+\cdots+a_{n-1}s^{n-1}+s^n}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}\quad(m<n)\]
(1) 当系统在阶跃信号输入下,\(\Phi(s)=\dfrac{a_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}\)时,即
\[b_0=a_0,\quad b_i=0(i=1,2,\cdots,m)\]