各位考生大家好，欢迎来到考试点呃，我们接着呢，上一讲的内容来复习一下第四章。在上一讲的内容当中，我们对第四章的整个知识脉络啊，有了一定的了解，并且呢，针对重要的考察点进行了复习。那么，我们在这一讲当中呢，将会针对我们这些啊，考察要点来进行具体例题的讲解。嗯，在第四章的考察当中，我们说过了，要考察跟轨集啊，通常就是三种跟轨集180度跟轨集0度跟轨集还有。参数跟柜机那参数跟柜机那么这在这种类型呃，在这种题型的考察过程当中呢，我们要求考生。

要会计算时轴上的根轨及区域能够绘制趋近于无穷远处的根轨及它的渐近线。能够呢啊，画出来跟轨迹在什么地方发生了分离，什么地方呢，出现了汇合。以及在和虚轴相交的时候，也就是系统处于临界阻尼状态时候。所对应的参数啊，所对应的参数那么要注意一点，在根轨迹的绘制过程当中。啊，我们是按点给分的，也就是说你的规则写的越详细，你对应的这些规则啊，正确的越多，那么得分呢会越高。

所以呢，我们在绘制根轨迹的时候，我们不提倡大家只给图形，不讲规则，必须是一个一个规则对应一步的画法，那对应一步的画法。在绘制完根轨根轨迹以后，我们要能够定性或者定量的来分析系统的性能。因此呢，我们经常会要求大家确定使系统稳定的啊参数，它的变化范围，变化范围，或者呢，使系统稳定的啊。啊，这个参数啊，使系统稳定的参数，它变化的时候啊，变化的时候某一个确定的参数，对应的闭环起点在哪里？所对应的闭环传递函数是什么好？

这是我们在第四章考察的时候呢，经常会遇到的地方啊，经常会遇到的。考研要点下面，针对这些要点，我们来给大家讲几道啊，具体的例题，具体的例题。首先，我们来看第一个题，第一个题呢，是这样的，已知某一个单位反馈的开环传递函数啊，单位反馈系统的开环传递函数。数让我们绘制它的根轨集。并且要证明要证明。

他呢，是非主导几点啊？有一个实数几点是非主导几点？证明出来一个极点是非主导极点，那么这是一个三阶系统，这个三阶系统。它有三条根轨迹，有一个极点，已经是实数了，所以呢，有一段根轨迹肯定是在实轴上的。剩下的两个极点在哪里呢？

在俯平面当中肯定是成对出现的，那么这成对出现的两个极点，他所对应的啊是系统的什么极点呢是？实际上就是主导几点了。哎，主导基点了，所以我们要呢，能够根据非主导基点计算出来，它的主导基点。然后进一步估算系统的展态性能指标啊，展态性能指标，那么这道题这道题它属于在根轨迹考察当中。常见的一种基本考察题型，只不过这道题的考核要点呢，更着重于主导几点的确定。

高阶系统如何降阶以及性能指标如何根据主导几点来计算来计算？下面呢，我们来看一下这道题，那该如何求解？首先这个题呢，他给我们的开环传递函数并不是开环传递函数的标准形式。啊，不是开环传递函数的标准形式，我们先把它呢化为标准形式，这个标准形式呢？是指？

以根轨迹增益来作为参变量啊，以根轨迹增益来作为参变量。开环传递函数呢，要写成零起点模型的形式，那么05 s+1这一项呢，不是标准形式，我们提完05以后。我们有这个系统，它的开环传递函数我们可以呢，写作这样的形式。其中，根轨迹增益和系统的开环增益之间呢，存在这样的一个关系那。那存在这样的一个关系。

然后我们就开始啊，可以绘制了啊，可以绘制了，首先我们观察系统呢，有三个几点，有三个几点。这三个极点在s平面当中的分布呢？是这样的。有一个极点，在坐标原点，还有一个极点，在负一这里，此外还有一个极点呢，在负。负二这里。

而且这个系统呢，它没有开环零点啊，没有开环零点，所以三条根轨集完全终于无穷远处。好，这点是要说明的啊，有三个开环几点？这要说明三条根轨迹啊，这个呢，我就不详细写了，那三条根轨迹这。这三条根轨迹呢，分别起于哎s=0 s=- 1和s=- 2，终于无穷远处啊，终于无穷远处，那么确定完这一条以后第二点。第二点，我们要来确定实轴上的根轨及区域，那实轴上的根轨及区域由于。

我们观察了这个系统的根轨迹方程，发现这个系统是一个180度的根轨迹系统。所以所以它实轴上的根轨迹区域呢，有两部分，一个是从负无穷到负二。啊负无穷到负二，还有一部分呢，在-1到0之间，这两段区域右侧的极零点数目之和。都是奇数，所以呢，两段区域负二。负无穷到-2和-1到零啊-1到0由于三条根轨迹全部终于无穷远处。

所以他会存在三条渐近线啊，三条渐近线。这三条渐近线要想确定一条直线，必须知道一个点，一个角，一个点，一个角。哪个点呢？和时轴的交点和时轴的交点是多少呢？哎，焦点的横坐标就等于。

所有的开环几点之和啊？所有的开环几点之和？减去所有的开环零点之和。比上一个n-mn-m好，在这个题当中没有开环，零点开环几点之和呢？是负3 n-m呢？

等于三，因此等于负一，那因此等于负一。而渐近线与实轴的夹角，这个夹角如果用fa来表示180度根轨迹分母呢是n-m。分子呢，是正负的2 k+1派，这个正负呢，实际上不影响这个角度，所以它就应该等于。正负的k=0的时候，三分之派还有呢k=1的时候啊，等于派派和负派呢是一样的。因此，三条渐近线我们可以画出来，这三条渐近线呢，实际上是把。

我们的s平面划分为了相等的三个部分啊，相等的三个部分，这三个部分，其中呢，有一条跟轨迹已经和渐近线重合，趋向于无穷远处了。所以这已经有一条跟轨机能够确定了，现在我们要确定的，剩下的两条跟轨机，那剩下的两条跟轨机。那么，我们进一步观察发现，在-1和0之间，两个都是出发点，所以一定会有分离点啊，分离点。因此，第四步我们要来计算。系统的分离点啊，分离点那么要想计算分离点，通常我们采用的方法有两种。

有两种，第一种，第一种，如果现在我们能够把系统的根轨迹方程。化作一个关于s的多项式，这个关于s的多项式可以写作fs=as，加上k星倍的。BS BS如果可以化作这样的形式的话，那可以化作这样的形式的话。那么这个时候所谓分离点是指什么呢？分离点实际上是两条根轨迹，在这个点发生了汇合。

所以实质上对于闭环特征方程而言，这个分离点他一定是这个闭环特征方程的重根。所以这个时候方程在分离点处应该等于零，同时由于它是重根。重根相当于有一个平方向的存在，对平方向求导以后仍然有一个一次方向。所以分离点不光可以使特征方程等于零，也可以使特征方程的导数。等于零。

哎，特征方程的导数等于零联立，这两个方程组联立，这两个方程组。然后呢？我们可以求出来分离点的坐标啊，可以求出来分离点的坐标。这是一种方法，还有一种方法，我们就比较常用了，那么大家只需要记住它，如果这个点是分离点。那么好了，这个分离点，它距离所有的开环极点，它的导数之和。

等于这个分离点，它距离所有的开环零点开环零点，它的导数之和啊导数之和。那么，在这里，我们呢？通常采用这种方法，实际上两种方法没有区别，他们最终化解以后的结果。应该是完全一样的啊，完全一样的利用这种方法，以后我们有哎，在这个题当中第。1 d+d+11加上d+12由，于没有零点所，以它等于零啊所，以它等于零，从这里边我们求解方程可以得到有两个根d等，一个等于负的042。

或者d等于负的158诶，这两个根我们观察一下。由于第这个根呢，它就不再发生分离的区域-1到0之间，所以呢，我们把它。舍去啊，舍去这个根啊，我们现在知道了，现在呢，我们的根轨集根轨集。在负的042这个地方发生了分离。一旦跟轨迹发生了分离，以后我们又开始要讨论一个问题了，分离以后他沿着什么样的角度分离？

通常情况下，如果是两条根轨迹在分离点分离的话，那么他肯定是沿着负的二分之派和正的二分之派这样的角度分。分离啊，分离，因此呢，在这里分离角，我们不需要再做过多的说明了，分离以后呢，这两条根轨迹。它就会沿着渐近线终于无穷远处，按照渐近线，它的分布情况，我们现在可以知道。这个根轨迹，它的运动趋势呢？应该是这样的了啊，应该是这样的了，从它的运动趋势当中，我们发现。

这个跟轨迹会和虚轴相交，相交交点在哪里呢？那交点在哪里呢？我们来看一下。再往下来看一下和虚轴他的焦点的问题。这个系统它的闭环特征方程，我们可以写出来哎，加上3s的平方。

再加上一个2s，加上k星等于零，从这个闭环特征方程当中，我们可以用一下劳斯阵列，那劳斯阵列。在劳斯稳定判据当中，我们曾经学到过这样的一点，如果现在在劳斯阵列的某一行当中。所有的元素都等于零，那么这个时候呢，我们可以借助于它的上一行构造一个辅助多项式。接着，判断系统的相对稳定性，而如果系统出现了全零行，造成它的原因。就是因为系统存在一对径向，相反大小相等的根，如果在复平面当中，实际上这一对根就是共额的复数根。

啊，就是共额的辅数根，而且如果处于临界稳定状态，临界稳定状态。那么这个时候，它实际上这个临界稳定时候的临界增益k星，它就是使系统稳定的这个k星取值范围的极大值。极大值，所以我们可以列一个劳斯阵列，那劳斯阵列有x的立方平方，一次方零次方。123k星那么劳斯阵列的这一行就应该是k星减去一个六，那k星减去六。k星呢？

挪下来，如果k星等于六了，那么这个时候出现了全零行。在心等于六的情况下，用它的上一行三平方加6=0构造一个辅助多项式。解出来s呢，就应该等于正负的借根号二也就是说。在我们的根轨迹当中，在我们的根轨迹当中，它会和虚轴再借1414和。和负的界1414这个地方哎相交相交点处的根轨迹增益呢，是等于六的啊，等于六的。

那么到现在为止，我们的根轨集已经绘制完成了啊，绘制完成了，那么第二问第二问。

让我们证明s等于负的3234，他是非主导基点，非主导基点。并且估算这个时候有主导几点所确定的系统，它的超调量和过渡时间啊，过渡时。时间好，我们来往下接着看一下，那么在这一问的求解过程当中，我们会用到根轨迹绘制的时候。啊，第九条绘制规则，也就是根之和，根之和，和根之极，那根之极。好，由于系统存在三条跟轨机，三条跟轨机，因此。

随着根轨及增益的变化，三个闭环特征根三阶系统的三个闭环特征根。分别在这三条根轨迹上面运动啊，三条根轨迹上面运动，如果我们已经知道了其中一个。等于负的234实际上也就是说，我们已经知道了位于负无穷到负二上面的一个闭环特征根。负的234这个根知道之后还有两个根应该在这条根轨迹或者是这条根轨迹上面啊，或者呢？哎，应该在这条根轨迹，或者是这条根轨迹上面那么根的大小是多少呢？

我们来看一下。哎，按照根之和，根之和，和根之集，它的一个规则，我们有啊，我们有。三个根的和。应该等于哎特征多项式第二项的系数。比上第一项系数的相反，数三比上一。

它的相反数。而根之极。就应该等于。k星等于k星，同时由于这两个根分布在这样的两条根轨迹上面。所以所以这个时候我们这两个根更可能出现的形式。

是以共阿的形式来出现的啊，共阿的形式来出现的，那么在这种情况下。连立三个方程，连立三个方程，注意根之和，和根之积的规则呢，大家在使用的时候并不常见。但是这两个规则必须牢记，我们可以推出来这两个根，应该等于负的033。加上059件，也就是说，通过根之和根之积以及这两个根是共阿关系，我们可以求出来这两个根。这两个根呢哎，分别在这样的两个位置。

这里有一个，这里有一个，然后另外一个根呢，在这里好，我们来判断一下，现在呢，位于俯平面当中的这两个根。呃位于俯平面当中的这两个根。它距离虚轴呢，只有033这么远，而这个负无穷到负二上面的这个根呢它。它距离虚轴有2342点三四是033的5倍还要多，所以此时这一对极点。就是这个三阶系统的闭环主导基点啊，闭环主导基点，而这个基点负的234，它就是。

非闭环主导几点，这样的话证明它是非主导几点，我们就完成了啊，我没有详细写那么大家呢，可以把这个过程补充完整。证明了它是非主导极点，也找到了这一对主导极点之后呢，哎，我们就可以估算它的。赞叹性能指标了，现在这个高阶系统就可以由由这一对。闭环主导几点负的033加减借059。所确定的二阶系统，他来估算了，这个时候这个二阶系统哎，这两个根。

是一对互不相等的共遏的负实根，所以此时呢，近似的这个二阶系统是一个嵌阻尼的。二阶系统而嵌入你的二阶系统呢，它的散态性能是有明确的公式可以计算的。这个时候我们可以认为某一个嵌阻尼二阶系统，它的两个根呢，就应该等于这么多。所对应的，我们可以按照这两边实部和实部相等，虚部和虚部相等计算出来，可c和欧米伽n。计算出来以后，我们发现可c=0点448，而欧米伽n呢？

等于0676啊0676。这两个根如果计算出来了，那么超调量它就等于e的负的可c派比上根号下一减可c的平方乘以100%。哎，我们就可以计算出来了，等于173%同样的调这个过渡过程的时间，也就是调节时间。它呢，是一个不确定的，值我们计算一个就差不多了35比上可c欧米伽n也就等于一个十。106秒那106秒，此时呢，允许的误差域呢，是在正负5%之内，那正负的5%之内。

这样的话，我们就可以啊，计算出来啊，这个由二阶系统所近似的，三阶系统。它的展态性能了啊，它的展态性能了，那么这个题最主要的呢啊，它的考察点就在于如何确定它的闭环主导基点。那么，闭环主导几点确定出来以后，分析也就不成问题了，这是我们要讲的第一个题啊，第一个题。再来看一下第二个题，第二个题呢，是这样的，已知某一个单位负反馈的控制系统。

它的开环传递函数哎，已经知道了，让我们来绘制它的根轨集。并且求使系的系统取得最大震荡响应，最大震荡响应。什么叫最大震荡响应呢？也就是说，在暂态过程当中，它的超调量。达到了最大值超调量，达到了最大值震荡最剧烈，那么这个时候的阻尼比和系统的增益啊，系统的增益。

并且求当k=2的时候，系统的单位节约响应啊，单位节约响应。好，那么这个题仍然呢要求绘制的是180度的跟轨机。180度的跟轨期。但是但是我们来看一下这个题，它的极零点分布啊，极零点分布。哎，它存在呢，两个极点，一个极点呢，位于零这个位位置，还有一个呢，在负二这里。

同时呢，它存在了一个零点，这个零点呢，在负三这里啊，在负三这里。然后从他的吉林点分布当中，我们发现这是一个二阶系统。他有两个极点，是相邻的，实际上也有两个零点，是相邻的。只不过这相邻的两个零点呢，一个在负三有限值这个地方。还有一个呢，在无穷远处，在无穷远处。

所以所以通过这样的一个啊，起点点分布，我们马上能够意识到这个时候这道题它的根轨迹。在俯平面当中的区域内，应该是圆，应该是圆来。在这两个极点之间。会发生分离，会发生分离，分离以后呢？一条根轨迹，沿着某一个圆就走到了负三这里。

还有一条根轨迹呢，它会哎，沿着圆的另外半个部分去。趋近于无穷远处了啊，无穷远处了，这是从它的极零点分布当中，我们呢，能够判断出来的结果。那么，究竟它是不是圆呢？如果是圆，圆心在哪里？半径又是多少？

我们需要呢？进一步的判断啊，进一步的判断。好，下边我们来啊，详细的做这道题啊，详细的做这道题。除了啊，判断出来它是个圆之外，还有这道题目当中还让我们确定最大震荡效效应时，响应时候的阻尼比。和系统的增益啊，系统的增益，那么在这里我们就需要借助于阻尼角，阻尼角和。

和阻尼比之间的关系，这个可c呢，应该等于cos in的贝塔借助于这样的一个关系分析系统的时域响应。在这里，我们建议考生把常见的可能是圆的啊，可能是圆的系统，它的开环机零点分布呢，熟记啊，熟记。见到这样的机，零点分布头脑当中，马上反映出来它在俯平面当中的根轨迹就是圆或者是圆的一部分。下面我们来把这个题呢完整的做一下。啊，详细的规则呢，我就不写了啊，说一下啊，说一下。

这个系统仍然是180度的根轨迹系统，它的极零点分布，哎，刚才我们已经大概的画了一下。一个极点在零，这里还有一个极点呢，在负二这里。另外还有一个零点在负三这里麒麟点分布已经知道了，从它的麒麟点分布当中，我们知道。这个系统从负无穷到负三这段区域应该是根轨集所在的区域。此外，从-2到0这段区域呢，也应该是根轨集所在的区域。

在-2到0负无穷，到负三之间肯定会存在分离点和汇合点啊，分离点和汇合点。并且有一条根轨迹，它是终于无穷，远处的有一条根轨迹，终于无穷远处。那么终于无穷远处，我们就要算它的渐近线啊，渐近线，渐近线和负时轴的交点。负的德尔塔a应该等于n-m就是一了，所有的极点之和。减去所有的零点之和，也就等于一啊，也就等于一，然后呢，与实轴的夹角。

n-m呢等于一正负的2 k+1派哎，负实轴正实轴实际上都是它啊，负实轴就是它的夹角。负十轴就是它的夹角，也就是说我们这条忠于无穷远处的渐近线，就是以负十轴来作为渐近线的，所以没有问题了啊，没有问题了。再往下，刚才我们说有分离点，有汇合点，那么这个分离点和汇合点出现在哪里呢？哎，我们按照d+3。所有的分离点，汇合点到开环零点的距离之和应该等于所有的分离点，汇合点。

到开环极点的距离之和，这样的话，我们可以通过求解这个方程得到。它会存在一组分离点和汇合点，一个呢是负的127。还有一个呢，是负的473负的473，也就是说在。负的127和负的。473这个地方，这两个地方呢？

哎，跟轨迹先是发生了。分离哎，一条跟轨迹在这里分离了啊，两条分离了，然后呢，在这里先汇合。先汇合，然后然后呢？再发生了分离，那发生了分离。好，现在根轨迹在实轴上的部分，我们大概已经知道了，可是他在空中空俯平面当中，空间内就。

究竟应该是什么呢？我们根据吉林点分布，刚才我们已经大致推断他的。分布呢轨迹可能是一个圆，这个圆我们需要证明啊，需要证明证明的时候呢，我们按照相角条件。按照向角条件来证明，俯平面当中的根轨集是一个圆。俯平面当中，如果跟轨迹是一个圆的话，那么这个时候俯平面当中的点。

哎，根轨迹上面俯平面当中的点就应该呢，满足满足某一个圆的方程。而这个圆的方程，我们可以怎么得到呢？好假设在辅平面当中，根轨迹上的任何一个点。它的坐标用德尔塔加上建欧米伽来表示，因为他是根轨迹上的点，所以他必须要满足向角条件。因此，我们有这个点到所有的所有的开环零点。

它的连线所对应的夹角之和夹角之之和只有一个零点，那么这个点到零点，它对应的夹角是多少呢？哎arctan ENT的欧米伽减零比上德尔塔减负三，应该呢，减去。所有的开环啊，所有的这个点抚平面当中的点到开环极点对应的夹角之和。有一个开环极点呢，在零这个地方，所以它所对应的夹角就是这么多。然后减去另外一个夹角arctan的omega比上到负二的话呢，德尔塔加二。

他们的夹角之和由于是180度的根轨迹，所以呢，应该等于负的180度。对于这个方程，两边来做一下整理，那做一下整理，我们把这两项呢移过去移过去，然后两边取正切以后。整理以后，我们可以得到这样的一个方程。诶好，我们可以得到这样的一个方程，这是一个什么样的方程呢？它的圆心呢？

在负三零这个地方半径呢？是根号三也就是173。这样的一个圆。好嘞。诶，和我们刚才计算出来的分离点，汇合点恰好是一样的，所以我们认为这个系统的根轨迹一条呢，从负二出发。

在负的20127这个地方发生分离，沿着圆弧一条进入了负三，还有一条呢进入了。负无穷远处好，这样的话，我们利用向角条件证明出来了，俯平面当中的根轨迹是一个圆。那么有同学就会问我，用扶持条件可不可以得到一样的结果呢？你们可以尝试一下，由于扶持条件当中。会有参数根轨啊，会有根轨及增益k星的存在，所以呢，这个参数如果难以消去，我们很难得到圆的方程。

所以证明是圆的话，我们建议大家就用向角条件来进行证明啊，进行证明，这样的话，第一问我们解决了。我们现在呢，已经绘制出来了，系统的根轨集第二问，让我们求。

使系统它取得最大震荡响响应的阻尼比那最大震荡响应的阻尼比。要想使系统取得最大的震荡响应，最大的震荡响应。那么，我们有对于一个二阶系统而言，如果可越小超调量越大。超调量越大，那么要想取得最大的震荡响应，那么这个时候最大超调量就应该取得极大值。他要取得极大值这个阻尼比可c，就要取得极小值，而阻尼比可c又等于谁呢他？

它等于阻尼角的余弦，这个阻尼角体现在哪儿呢？根轨迹上面的。点与我们俯平面坐标原点的连线与副时轴，顺时针方向的夹角，顺时针方向的夹角。要想可c取得最小值，这个时候阻尼角就要取得最大值。好，我们来看根轨迹。

在这个根轨迹上边，要想使这个阻尼角取得最大值，而这个点呢，又必须在根轨迹上。在哪呢？实际上我们是通过坐标原点对这个圆做了一个切线，做了一个切线。这个切线切线，它呢，与圆心既然是切线啊，那么它呢，所对应的这个阻尼角贝塔。如果和圆相切，这个阻尼角是最大的，是最大的，而这个时候我们来观察一下有没有办法计算出来这个阻阻尼角呢？

好，我们说如果他的根轨迹是个圆，这就不是问题，这就不是问题来。在这个圆当中，半径呢是173这一段的距离呢，我们也是知道的，所以我们可以很容易的计算出来，这个贝塔值。计算出来，这个贝塔值我们发现这个苦赛因的贝塔最大等于三分之根号三，这一段是三，这一段是。啊根号三那根号3 cos贝塔呢？他等于。

相切。s in beta.sine贝塔哎，sine贝塔等于三分之根号三，所以cosine贝塔呢，就应该等于三分之根号六啊，三分之根号六。这个三分之根号六呢，就是我们求得的最小阻尼比最小阻尼比它。它也就等于0816最小阻尼比计算出来了，然后我们要进一步计算这个k。哎，要想计算我们的根轨迹增益，这个时候我们用什么方法呢？

我们可以用一下啊。所对应的赋值条件，赋值条件，这个点如果在根轨迹上，他就一定满足赋值条件。那么这个点的坐标容不容易确定呢？哎，这个点的坐标我们是可以计算出来的，那可以计算出来的。来这个点的坐标，如果知道了，然后他要满足赋值条件，那满足赋值条件，我们可以得到这样的一个方程。

k乘以根号三比上一个根号3×1个三分之根号六啊，再来乘以一个根号下3^2-3。应该等于一啊，应该等于一，这是由赋值条件。赋值条件得到的结果，从这里边我们可以算出来，如果现在我们呢？存在了。最大的震荡响应，此时所对应的根轨迹增益，也是系统增益就应该等于2=2。

第三问他让我们求当k=2的时候，系统的单位节约响应，系统的单位节约响应。

这是一个单位负反馈的系统，现在k已知了，相当于开环传递函数已经知道了，那么闭环传递函数如果知道了闭环特征方程，我们当然也就知道了。根据闭环特征方程计算，它的单位节约响应就不应该是什么问题了，那我们来看一下当k=2的时候。系统的开环传递函数呢，就应该等于二倍的s+3比上ss+2。可以得到它的闭环传递函数，就应该等于1+gsgs整理以后。应该等于这么多啊，应该等于这么多，当外加的激励信号是单位接阅信号的时候。

输出响应所对应的拉式变换，就等于闭环传递函数乘以外加激励乘以外加激励。然后单位接月响应，只要对它输出的拉式变换取一个拉式反变换就可以了啊，就可以了。所以这个题呢，再往下大家就应该能够求解了啊，能够求解了，那么在这道题的求解过程当中。最关键的问题在这里。要把这个意思读懂什么叫做最大震荡响应对应的阻尼比最大震荡响应，就意味着超调量取得最大值。

取得最大值利用阻尼角和阻尼比之间的关系啊，这个题我们能够求解，这是第二个题。下面呢，我们再来看一个题，再来看一个题。在这个题目当中是这样说的，已知某单位反馈系统，它的开环传递函数是这么多。这是一个三阶系统，存在一个开环零点，让我们绘制它的根轨集，并且。如果已知系统的一个闭环节点是负的09，那么三阶系统其他的两个闭环节点又是多少呢？

还有第三问，这个系统三阶的系统能不能够用低阶系统来近似？

这句话意味着什么呢？意味着它是否存在闭环主导基点，如果存在，让我们求它的闭环传递函数。也就是说，有主导几点所近似的第一节系统，它的闭环传递函数如果不能给出理由啊，给出理由。那么，这道题他重在分析第三问啊，第三问在第三问当中。

我们会用到一个重要的概念，叫做偶极子啊，偶极子。也就是说，如果系统存在了一对。闭环偶极子，那么这一对偶极子在系统当中的影响是可以相互抵消的。相互抵消的，如果可以抵消，那么这个时候呢，系统是可以做降阶处理的。好，我们针对这个题呢，来看一下偶极子在系统当中如果出现了，我们该如何处理？

那该如何处理？呃，首先我们来绘制它的根轨集，那绘制它的根轨集，那么这个题我们看一下它的极零点分布。它存在呢三个极点，分别在零。-2和-3这里存在一个极点，在负一这里啊，在负一这里极零点的分布，我们知道以后。实轴上的根轨迹区域呢？

由于这个题仍然是一道180度的根轨迹的题，所以实轴上的根轨迹区域。主要在于这样的两部分，一个-1到0这段区域是根轨迹所在的区域。此外-3到-2这个部分也是根轨迹所在的区域，由于-1到0既有起点也有终点，所以这就是一段根轨迹了，那这就是一段根轨迹了。那么，在-3到-2之间，这两个中间肯定会发生根轨迹的分离在哪里发生分离呢？我们仍然可以用分离点的计算公式来讨论一下，那来讨论一下。

我们有第。到零点，它的距离之和导数距离之和等于1 d+d+12，再加上d+13从这个方程当中，我们是可以计算出来分离点的啊，这个呢，我们才往下计算了。然后这两条根轨迹在-3和-2之间发生分离以后，它必须要趋近于无穷远处。因此，我们还需要讨论渐近线，渐近线与时轴的交点应该等于几呢3-1分之。所有的极点之和负五减去所有的零点之和，因此分离点出现在二。

与渐近线与时轴的交点，它的坐标呢，在负二这个地方，它与时轴的夹角与时轴的夹角。等于n-m分之正负2 k+1派由于n-m=2。所以他的。这个渐近线与实轴的夹角分别是。当k=0的时候，那当k=0和等于一的时候，我们可以计算出来，应该是在二分之派和负的二分之派，这两个地方。

因此，我们可以画出来它的渐近线了，那它的渐近线渐近线呢？就和实轴交于负二这个地方，也就是说。我们的根轨集在-3和-2之间发生分离以后一条呢，会沿着渐近线。终于向上，终于无穷远还有一条呢，会沿着渐近线向下，终于无穷远啊，向下终于无穷远。那么，现在画出来了，它的根轨集，那这个分离点需要大家进一步计算的啊，然后我们需要讨论第二个问题。

如果已知一个闭环极点呢，是负的0 9，也就是说在-1到0之间已经存在一个闭环极点了。让我们来求其他的闭环，几点求其他的闭环几点？那么这个问题该如何讨论呢？我们可。可以啊，利用一下赋值条件啊，利用一下赋值条件。

那么，在扶植条件当中，我们有如果，如果有一个扶。闭环几点已知了，闭环几点就应该满足闭环特征方程，因此我们可以利用赋值条件。计算出来，如果有一个闭环节点等于负的09的时候，它所对应的根轨及增益是多少？这个只需要带到赋值条件里边就可以了啊。它呢，应该等于一从这样的一个啊，方程里边我们可以解出来此时的k。

它应该呢，等于2079啊2079我们把s等于负的09带到方程里面p1P2P3分别是零。负二负3z1呢，是负一代进去，我们就可以计算出来这个kk计算出来以后所对应的。此时的闭环特征方程，我们就可以知道了。闭环特征方程不就是ss+2 s+3。再来加上倍的加1=0吗？

我们从闭环特征方程里边。做一下整理，做一下整理，整理以后肯定能够分解，肯定能够分解，因为我们已经知道有一个闭环几点是负的09了啊，是负的09了。这个方程是一个三阶的方程，分解以后可以代进去，分解以后s+0点九。s^2+4点1s再加上一个23点1=0等于零。从这里边我们可以解出来，剩下的位于这两条根轨迹上的闭环节点。

这两个闭环几点等于多少呢？等于负的205加减。借435，他是来自于这个方程的啊，来自于这个方程的。现在第二问我们也已经解决了，知道一个闭环几点的情况下，其他的两个闭环几点我们也可以求出来了。

第三问。

这个系统能不能够用一个低阶系统来近似好？我们来看一下这个题，在这里由于闭环几点闭环几点啊，有一个等于负的09，负的09同时我们观察一下它的特征方程，特征方程。这个特征方程有一个开环零点等于负一，要注意系统的开环零点。也就是。系统的闭环零点。

哎，开环零点，也就是闭环零点，那么意味着系统有一个闭环极点是负的09，有一个闭环零点呢是负一。他们两个之间距离是非常近的，同时刚才我们算了其他的一对闭环节点是负的205。好，现在呢？这一对位于这两条根轨迹上的闭环零点，它距离虚啊，闭环几点距离虚轴呢？有205那么大，而这一个几点呢？

他距离徐州，他距离徐州是09这么大，这一对几点距离徐州比较远，而这一对吉林点呢？一对吉林点。他们之间的距离01和这个205比较数量级要小十倍以上了，要小十倍以上了。所以我们可以认为现在负的0 9和-1就构成了一对闭环偶极子。这一对闭环偶极子呢？

他们在系统当中的作用是可以相互抵消的。抵消以后，这个时候系统就可以降阶为一个二阶系统了。这个二阶系统，它存在一对闭环，几点就是我们在第二问当中求出来的这个几点？

所以这个时候系统的闭环特征方程也就可以很容易的写出来了s^2+4点1s。加上231231也就是这个多项式对应的特征，多项式了，那特征多项式了。在这道题当中，一定要掌握一点偶极子的存在，如果有偶极子，偶极子的影响是可以相互抵消的。抵消以后系统就可以做降阶处理了，这是我们啊讨论的这样这样的一道题，那么在这一讲当中呢，我们针对三道主要的例题。把上一章我们提到的两个重要概念，主导几点和偶极子呢都贯穿于其中了，这一讲我们先讲到这里。

在下一讲当中呢，我们还会针对两道典型例题对第四章进行分析好，谢谢大家。