考研851 自动控制原理
题海 · 题海 · p.283
\[ \omega_x = 1/\sqrt{T_1 T_2}, \quad G(\mathrm{j}\omega_x) = \mathrm{Re}[G(\mathrm{j}\omega_x)] = -\frac{T_1 T_2}{T_1 + T_2} \]

其概略开环幅相特性曲线如图 5-55 所示。

由奈奎斯特稳定判据 \(Z = P - 2N\) 可知,若使系统稳定,即 \(Z=0\),则应有 \(P=2N\),而 \(G(s)\) 在 \(s\) 右半平面的极点个数 \(P=0\),所以 \(N=0\);也即奈奎斯特曲线不包围 \((-1,\mathrm{j}0)\) 点,故使闭环稳定的参数范围为

\[ -\frac{T_1 T_2}{T_1 + T_2} > -1, \quad \text{即} \quad \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2} > 1 \]

图:自控原理题海_p283_fig1

图 5-55 系统的概略开环幅相特性曲线

5-36 已知单位反馈系统的开环传递函数 \(G(s) = \dfrac{K(1-s)}{s(s+1)} (K>0)\),试用奈奎斯特判据判别 \(K=1, K>1, K<1\) 三种情况下系统的闭环稳定性。

解 系统的开环频率特性为

\[ G(\mathrm{j}\omega) = \frac{K(1-\mathrm{j}\omega)}{\mathrm{j}\omega(1+\mathrm{j}\omega)} = -\frac{2K}{1+\omega^2} - \mathrm{j}\frac{K(1-\omega^2)}{\omega(1+\omega^2)} \]

开环幅相特性曲线的起点:\(G(\mathrm{j}0_+) = -2K - \mathrm{j}\infty\);终点:\(G(\mathrm{j}\infty) = 0\)。

开环幅相特性曲线与实轴的交点:令 \(\mathrm{Im}[G(\mathrm{j}\omega)]=0\),解得

\[ \omega_x = 1, \quad G(\mathrm{j}\omega_x) = \mathrm{Re}[G(\mathrm{j}\omega_x)] = -K \]

其概略开环幅相特性曲线如图 5-56 所示。

因为 \(v=1\),故从 \(\omega = 0_+\) 处按逆时针方向补作 \(90°\),半径为无穷大的虚圆弧;且 \(G(s)\) 在 \(s\) 右半平面的极点个数 \(P=0\)。

(1) \(K>1\) 时,由奈奎斯特曲线可知 \(N_- = 1, N_+ = 0\),则 \(N = N_+ - N_- = -1\)。

由奈奎斯特稳定判据

\[ Z = P - 2N = 2 \]

故闭环系统不稳定,系统有两个正实部的闭环极点。

(2) \(K=1\) 时,奈奎斯特曲线正好穿越 \((-1,\mathrm{j}0)\) 点,故闭环系统临界稳定。

(3) \(0<K<1\) 时,由奈奎斯特曲线可知 \(N_-=0, N_+=0\),则 \(N=N_+-N_-=0\)。

由奈奎斯特稳定判据

\[ Z = P - 2N = 0 \]

故闭环系统稳定。

图:自控原理题海_p283_fig2

图 5-56 系统的概略开环幅相特性曲线

5-37 设单位反馈延迟系统的开环传递函数 \(G(s) = \dfrac{10\mathrm{e}^{-0.5s}}{Ts+1}\),试用奈奎斯特判据确定使系统闭环临界稳定时参数 \(T\) 的值。

解 系统的开环频率特性

\[ G(\mathrm{j}\omega) = \frac{10\mathrm{e}^{-\mathrm{j}0.5\omega}}{1+\mathrm{j}T\omega} = \frac{10}{\sqrt{1+T^2\omega^2}} \mathrm{e}^{-\mathrm{j}(0.5\omega + \arctan T\omega)} \]

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