第03讲 第2章例题解析:从电路和方程到传递函数

这一讲不讲新理论,全部是"把第2章学的东西用起来"。但请先把老师那句"第二章非常简单"从脑子里删掉。 对已经会的人它简单;对零基础的人,这一讲每一步都踩着一堆没解释过的前置。下面全部就地补。

先给这一讲的地图:三道题,三种题型。

1. 给一个含运算放大器的电路 → 求传递函数 + 求微分方程 → 认出它是 PID 调节器。
2. 给一组微分方程 → 画动态结构图 → 用梅森公式求多个输入各自的传递函数。
3. 给一张动态结构图(引出点和比较点交叉) → 用梅森公式求闭环传递函数。

考点定位(有出处,如实引用):考点分析_p004 写"数学模型:电路模型近几年一直没有考察过,根据电路模型 (RC和运算放大器)求传函,需要掌握复阻抗法求解传递函数,然后反解微分方程";关于梅森公式,原文整段是 "梅森公式:重中之重,必须会的题型,但是现在出题不会单独出一道题了,会和误差、劳斯判据结合去考, 而且近几年没有在梅森公式上出难题,不排除会在这方面出难题的可能。现在需要强化两两不接触回路的掌握, 如果加深难度的话可能会在余子式方便变难。"(末句"方便"为原件笔误,按文意读作"方面"。) ——注意后半句对备考策略很关键:梅森不会单独成题,会嵌在误差、劳斯判据的题里当第一步。 p008 的真题表里 T3 一栏出现"梅森公式求C(S)""电路模型(RC)求传函"。所以这一讲三道题都在射程内,梅森是最硬的那个。

零、开讲前必须补的词(一个都别跳)

这些词后面反复用,现在一次性说人话。

• 时域(转录里 ASR 糊成"食欲""十域"):以时间 \(t\) 为自变量描述系统,变量是 \(u_r(t)\) 这种"随时间变化的量"。 时域里描述系统靠微分方程。
• 复频域(转录里糊成"抚平域"):把时间函数经拉普拉斯变换换成以复数变量 \(s\) 为自变量的函数。 复频域里描述系统靠传递函数。
• 拉普拉斯变换(拉氏变换):一个"翻译器"。它的用处只有一句话——把微分方程翻译成代数方程。 这一讲只需要两条直觉:零初始条件下,"对 \(t\) 求一次导"翻译过去就是"乘一个 \(s\)"; "对 \(t\) 积一次分"翻译过去就是"除以一个 \(s\)"。写成式子: $\(\mathcal{L}\left[\frac{dx(t)}{dt}\right]=sX(s),\qquad \mathcal{L}\left[\int x(t)\,dt\right]=\frac{X(s)}{s}\)$ 这式子在说什么:左边是"对信号 \(x\) 做微分/积分"这件事,右边是"把它变换后的像函数 \(X(s)\) 乘 \(s\) / 除 \(s\)"。 符号含义:\(x(t)\) 是时域信号(比如一条电压随时间变化的曲线),\(X(s)\) 是它变换后的像函数,\(s\) 是复数变量; 你现在不需要懂 \(s\) 的深层物理意义,只把它当成"代表求导的那个记号"。 怎么用:见到 \(\dot x\) 写 \(sX\),见到 \(\ddot x\) 写 \(s^2X\),见到积分写 \(X/s\)——反过来也成立。 这就是本讲"从传递函数反解微分方程"的全部机关。
• 导数 \(\dfrac{dx}{dt}\):变化率,"这个量此刻变得多快"。二阶导 \(\dfrac{d^2x}{dt^2}\):"变化率本身变得多快"。
• 传递函数:零初始条件下,输出的拉氏变换比输入的拉氏变换,\(G(s)=C(s)/R(s)\)。 它是系统的"身份证",只跟系统自己的元件参数有关,跟你给它输入什么无关。
• 典型环节:把复杂传递函数拆成的几种"积木"。这一讲只用三个—— 比例环节 \(K\)(输出=输入乘一个常数,瞬间跟随、不管时间); 微分环节 \(K_d s\)(输出正比于输入的变化率,输入变得越猛输出越大); 积分环节 \(K_i/s\)(输出是输入的累积,只要输入还是正的,输出就一直往上爬)。
• 积分器:实现积分环节的那个部件。直觉:水龙头流量是输入,水池水位是输出,水位就是流量的累积。
• 线性定常系统:"线性"=同时满足叠加性和齐次性(下面细讲);"定常"=系统参数不随时间变化, 今天做实验和明天做实验,同样的输入给同样的输出(电阻不会自己变阻值)。这一讲全部题目默认线性定常。

【你可能会以为】传递函数和微分方程是两套知识,要分别背。 但其实它们是同一个系统的两种语言,靠"求导↔乘 \(s\)"互相翻译。老师那句"求出来一种,另一种也就没问题了" 说的就是这个。所以考试给你电路让你"求微分方程"时,聪明的做法通常是先用复阻抗求传递函数,再翻译回去。

一、例题1:有源网络(运放电路)求传递函数与微分方程

题目:给一个含运算放大器 + 若干电阻电容的电路(有源网络),求 (1) 时域微分方程 (2) 复频域传递函数 (3) 它放在系统里起什么校正作用。

("有源网络"=电路里含有放大器这类需要供电、能提供能量的器件;"无源网络"=只有 R、L、C。 字幕里的"有缘/无缘"是 ASR 错字。)

1.1 两条路,为什么选第二条

方法一(时域法):用基尔霍夫定律在时域列微分方程组 → 消去中间变量 → 得到只含输入输出的微分方程。 - 基尔霍夫电流定律(KCL):任一节点,流进的电流之和 = 流出的电流之和。 物理原因:电荷不会在节点里堆积。零基础只需记这一句,它是所有电路题的地基。 - 麻烦在哪:电容的电流电压关系是 \(i=C\dfrac{du}{dt}\),电感是 \(u=L\dfrac{di}{dt}\),一上来就是微分方程组, 消元时要在微分方程之间消元,极易出错。

【补前置:欧姆定律是什么】下面每一步列方程都在用它,先说清。 一段电阻两端的电压差 \(U\)、流过它的电流 \(I\)、它的阻值 \(R\),三者关系是 $\(U=RI\qquad\text{等价地}\qquad I=\frac{U}{R}\)$ - 这式子在说什么:同一个电阻,你在它两端加的电压越高,流过的电流就越大,成正比;阻值 \(R\) 就是那个"阻碍程度",\(R\) 越大同样电压下电流越小。 - 每个符号:\(U\) 单位伏特(V),是两点之间的电位之差(注意是"差",不是某一点的绝对电位);\(I\) 单位安培(A);\(R\) 单位欧姆(\(\Omega\))。 - 怎么用:本讲全部用的是变形式 \(I=\dfrac{U_{\text{起点}}-U_{\text{终点}}}{R}\)——"这一段上的电流 = 两端电位之差 ÷ 这一段的阻值"。 1.3 里写 \(\dfrac{U_r(s)-U_A(s)}{Z_1}\),就是把 \(R\) 换成复阻抗 \(Z_1\) 后照抄这个式子,别被复杂符号唬住。

【补前置:什么叫串联、并联,为什么并联要"倒数相加"】 - 串联:两个元件首尾相接排成一条队,电流没有岔路,只能依次穿过它们。总阻值是直接相加:\(Z=Z_1+Z_2\)(路更长了,更难走)。 - 并联:两个元件两端分别接在同样的两个点上,像两条并排的车道,电流到这里会分成两股各走一条。 总阻值的算法是倒数相加再取倒数:\(\dfrac{1}{Z}=\dfrac{1}{Z_1}+\dfrac{1}{Z_2}\),即 \(Z=\dfrac{Z_1Z_2}{Z_1+Z_2}\)。 为什么:两条道两端的电压差一样(都是 \(U\)),各自电流按欧姆定律是 \(U/Z_1\) 和 \(U/Z_2\),合起来总电流 \(I=U\left(\frac1{Z_1}+\frac1{Z_2}\right)\),再按 \(Z=U/I\) 一除,就得到上式。 直觉:多开一条车道,整体反而更好走,所以并联总阻值一定比其中任何一个都小——算完可以拿这句自查。

方法二(复阻抗法,老师推荐、考点分析也点名要求): - 复阻抗是什么:一句话——在复频域里,让电容、电感也能像电阻一样套"欧姆定律"计算的那个等效阻值。 电阻的复阻抗还是 \(R\);电容是 \(\dfrac{1}{Cs}\);电感是 \(Ls\)。 为什么电容是 \(1/(Cs)\):因为 \(i=C\dfrac{du}{dt}\),两边拉氏变换得 \(I(s)=CsU(s)\),即 \(U(s)=\dfrac{1}{Cs}I(s)\),这形式跟 \(U=RI\) 一模一样,所以 \(\dfrac{1}{Cs}\) 就扮演了"电阻"的角色。 - 复阻抗一上,整张电路就变成"纯电阻电路":串联相加、并联倒数相加,KCL 直接写成代数方程。 这就是老师说的"用运算法直接列复频域方程组"。"运算法"=先变换到 \(s\) 域再算,不在时域里硬解微分方程。

【难点】为什么复阻抗法能省掉"消微分方程"这件事? - 难在哪:学生会觉得"你不过换了个符号,难度应该一样"。 - 为什么难:省掉的不是写方程的力气,是消元的力气。时域里消元要对方程反复求导、代入; \(s\) 域里三个方程都是一次代数式,消元就是初中的代入消元。 - 正确理解:复阻抗法的价值 = 把"微积分运算"降级成"乘除法"。这正是拉氏变换存在的唯一理由。

1.2 理想运放的两条铁律:虚短、虚断

电路里有运算放大器(运放),必须先补这两条,否则方程列不出来。

• 虚短:理想运放的同相输入端(+)和反相输入端(-)电位相等。注意是"虚",两端并没有真用导线连起来; 是因为运放放大倍数极大且接了负反馈,才逼得两端电位几乎一样。
• 虚断:两个输入端没有电流流进去。因为理想运放输入电阻无穷大。
• 本题的特殊之处:同相端接地(电位为 0),由虚短得反相端(图中 A 点)电位也是 0——这叫"虚地"。 于是所有涉及 A 点电位的表达式里直接写 0,方程立刻简化。这正是转录里"A 点和 B 点等电位,且电位等于零"。

【你可能会以为】虚地 = 接地 = 那条线上没电流。 但其实虚地只说电位是 0,不说电流是 0。电流照样从输入电阻流进来、从反馈支路流出去; 真正没电流的是"流进运放输入端"这个方向(虚断)。这两件事混淆是这类题最常见的死法。

1.3 先把这类题的"母公式"当场推出来:反相放大器 \(G=-Z_f/Z_1\)

几乎所有"运放 + RC"求传函的题,骨架都是同一个电路。先把这个骨架讲清,后面所有变化都只是往里填零件。

骨架电路(文字精确描述,请照着画在纸上):

• 输入电压 \(u_r(t)\) 从左边进来,经过一段输入支路(复阻抗记作 \(Z_1\)),接到运放的反相输入端,把这个点叫 A 点。
• 运放的同相输入端(B 点)直接接地,即 \(u_B=0\)。
• 运放的输出端就是输出电压 \(u_c(t)\)。
• 从输出端再拉一条反馈支路(复阻抗记作 \(Z_f\))回到 A 点。这就是"负反馈":输出绕回来影响输入端。

("支路"在这里就是"两点之间那一段元件串并联组合"。\(Z_1\)、\(Z_f\) 可以是单个电阻, 也可以是 R、C 的串并联组合——正是这里的花样决定了它是 P、PI、PD 还是 PID。)

推导(只用虚短、虚断、KCL 三件事):

1. 虚断:没有电流流进 A 点(运放输入端)。所以流进 A 的电流必须全部从反馈支路流走—— A 点只有两条支路有电流:输入支路和反馈支路,而且是同一股电流。
2. 虚短 + 同相端接地:\(U_A(s)=U_B(s)=0\)(虚地)。
3. 对 A 点写 KCL(流入 = 流出): $\(\underbrace{\frac{U_r(s)-U_A(s)}{Z_1}}_{\text{从输入支路流入 A}}=\underbrace{\frac{U_A(s)-U_c(s)}{Z_f}}_{\text{从 A 经反馈支路流向输出}}\)$
4. 把 \(U_A=0\) 代进去: $\(\frac{U_r(s)}{Z_1}=\frac{-U_c(s)}{Z_f}\)$
5. 移项即得 $\(\boxed{G(s)=\frac{U_c(s)}{U_r(s)}=-\frac{Z_f}{Z_1}}\)$

这式子在说什么:输出电压 = 输入电压乘以"反馈支路阻抗与输入支路阻抗之比",再取个负号。 符号含义:\(Z_1\) 是输入端到反相端那一段的复阻抗,\(Z_f\) 是输出端到反相端那一段的复阻抗; 两者都是 \(s\) 的函数(含电容就会含 \(s\))。怎么用:看清哪些元件在输入支路、哪些在反馈支路,分别算出复阻抗,一除一取负,完事。

那个负号从哪来的:来自第 4 步,因为信号是加在反相输入端的。物理含义是"信号经过它会反相"。 转录里老师明说:"由于现在这个题目当中的运放,输入信号是加在反相输入端的,所以会有一个负号存在…… 我们知道信号一旦经过它会产生一个反向作用就可以了,并不需要在传递函数当中格外来留意这个负号。" 所以后面讨论它是 PID 中哪几项时,习惯上把负号放一边,只看 \(|G|\) 的形态。

1.4 一个完整的 PID 电路:从元件一路推到 \(K_p,K_d,K_i\)

【存疑·待核】转录里这道原题的电路图没有随材料给出,逐项代数推演又被 ASR 打碎 (出现 "c11s""r31c1×1s""z1" 等无法还原的符号)。从转录能还原出的原题拓扑轮廓只有: 输入经 \(R_3\) 接到反相端 A;A 点另一侧接一段 \(R_1\) 与 \(C_1\) 串联的支路通到中间节点 E; E 点再分别经 \(C_2\) 支路和 \(R_2\) 支路通向输出。但每个系数与哪个 \(R\)、\(C\) 对应,ASR 已无法逐字还原, 照抄就是编。所以下面换一个我自己完整定义的等价电路(它是教材里最标准的 PID 运放电路), 从列方程一路推到 \(K_p,K_d,K_i\) 全程走一遍。这个电路是本讲自定义的,不是原题电路——但题型、 方法、结论形态完全一致,你拿它练手是有效的。

电路定义(照着画):骨架同 1.3(输入→\(Z_1\)→反相端 A,A 与输出之间接 \(Z_f\),同相端接地),其中

• 输入支路 \(Z_1\):电阻 \(R_1\) 与电容 \(C_1\) 并联。
• 反馈支路 \(Z_f\):电阻 \(R_2\) 与电容 \(C_2\) 串联。

第一步:算两条支路的复阻抗。 并联的算法和纯电阻一样——倒数相加再取倒数: $\(Z_1=\frac{R_1\cdot\dfrac{1}{C_1s}}{R_1+\dfrac{1}{C_1s}}=\frac{R_1}{1+R_1C_1s}\)$ 串联的算法是直接相加: $\(Z_f=R_2+\frac{1}{C_2s}\)$

第二步:套 1.3 推出来的母公式。 $\(G(s)=-\frac{Z_f}{Z_1}=-\left(R_2+\frac{1}{C_2s}\right)\cdot\frac{1+R_1C_1s}{R_1}\)$

第三步:硬乘开(这一步没有技巧,就是分配律,别怕啰嗦)。 $\(G(s)=-\frac{1}{R_1}\left(R_2+R_1R_2C_1s+\frac{1}{C_2s}+\frac{R_1C_1}{C_2}\right)\)$ $\(=-\left(\underbrace{\frac{R_2}{R_1}+\frac{C_1}{C_2}}_{\text{常数}}+\underbrace{R_2C_1}_{\text{常数}}s+\underbrace{\frac{1}{R_1C_2}}_{\text{常数}}\cdot\frac{1}{s}\right)\)$

第四步:对号入座。 $\(K_p=\frac{R_2}{R_1}+\frac{C_1}{C_2},\qquad K_d=R_2C_1,\qquad K_i=\frac{1}{R_1C_2}\)$ 三个系数全部由 \(R_1,R_2,C_1,C_2\) 组成,没有 \(s\)、没有 \(t\)——电路一焊好,它们就是三个死数。 (这正是转录里"有源网络给定了,参数也就确定下来了"那句话的意思。)

至此这道题的三问都能答了:传递函数就是上式;微分方程见 1.6;校正作用见 1.5。

1.5 关键结论:这个电路是 PID 调节器

不管是原题电路还是 1.4 这个,消元整理后传递函数都化成三项之和的形态(负号按上面的约定不再纠缠):

这式子在说什么:这个电路对输入信号同时做了三件事,再把结果加起来。 符号含义:\(K_p\) 比例系数、\(K_d\) 微分系数、\(K_i\) 积分系数,三者都由电路里的 \(R\)、\(C\) 参数组合而成 (在 1.4 那个电路里就是 \(K_p=\frac{R_2}{R_1}+\frac{C_1}{C_2}\)、\(K_d=R_2C_1\)、\(K_i=\frac{1}{R_1C_2}\)) ——电路一旦焊好,\(R\)、\(C\) 定死,这三个系数就是常数(这就是转录里"有源网络给定了,参数也就确定下来了")。 怎么用:见到传递函数能拆成"常数 + 常数\(\times s\) + 常数\(/s\)",就认出它是 PID。

• \(K_p\):比例部分 → 比例环节
• \(K_d s\):常数乘 \(s\) → 微分环节
• \(K_i/s\):常数乘 \(1/s\) → 积分环节

这就是经典控制理论里最重要的调节器:PID 调节器(P=Proportional 比例,I=Integral 积分,D=Derivative 微分)。

三部分各管什么(老师明确讲了,可归纳为): - 比例 P:改变系统增益(增益=输出被放大的倍数)。增益一变,系统稳不稳定、稳态误差多大都可能跟着变。 (稳态误差:系统被扰动过、折腾完、彻底稳下来之后,输出与你希望它达到的目标值之间永远差着的那一截。 比如空调设 26 度,最后稳定在 26.5 度,那 0.5 度就是稳态误差。它是第3章的核心考点之一, 这里只需要知道"它是系统稳下来后剩下的那点固定偏差,越小越好"。) - 微分 D:加快系统响应速度。直觉:微分看的是"变化率",误差刚开始变它就有输出,相当于提前动作。 - 积分 I:降低系统误差。直觉:只要误差还没消,积分就一直累加输出,把误差往 0 推。

【难点】"微分能提前动作"为什么不违反因果性? - 因果性:系统此刻的输出只能取决于此刻和过去的输入,不可能取决于未来的输入。 - 难在哪:说"微分提前",听起来像系统能预知未来。 - 正确理解:微分环节用的是当前的变化趋势(此刻误差正在快速变大),拿"现在的斜率"外推,并没有看到未来。 而且纯微分环节 \(K_ds\) 物理上无法单独实现。为什么(这里给根据,不是让你信一句断言): 微分看的是斜率。真实信号上总叠着一点又小又快的杂波(高频噪声:幅值很小但变化极快的干扰, 比如电路里的电磁干扰毛刺)。幅值再小,只要它变化够快,斜率就可以任意大—— 一个幅值 0.001 V、但在百万分之一秒内完成的跳变,斜率高达 1000 V/s。 微分环节输出正比于斜率,于是它会把这种毫无用处的毛刺放大成巨大的输出,把有用信号彻底淹掉。 频率越高放大越狠,理论上没有上限,这就是"纯微分把高频噪声放大到无穷大"的含义。 所以实际 PID 里的 D 总要带一点惯性 ——系统惯性指的是真实系统改变状态需要时间、不能瞬间跳变。这与第2讲"传递函数分子最高次不能高于分母最高次" 是同一件事的两面。

1.6 反解微分方程

已有 \(G(s)=\dfrac{U_c(s)}{U_r(s)}=K_p+K_ds+\dfrac{K_i}{s}\),交叉相乘: $\(U_c(s)=K_pU_r(s)+K_dsU_r(s)+\frac{K_i}{s}U_r(s)\)$ 按"乘 \(s\) ↔ 求导""除 \(s\) ↔ 积分"翻回时域: $\(u_c(t)=K_pu_r(t)+K_d\frac{du_r(t)}{dt}+K_i\int u_r(t)\,dt\)$ 这式子在说什么:输出电压 = 输入的比例 + 输入变化率的比例 + 输入累积的比例。这就是 PID 的时域面孔。

但这还不是标准形式:微分方程的标准写法里不允许挂着积分号。做法是两边同时对 \(t\) 求一次导, 积分号被求导抵消: $\(\frac{du_c(t)}{dt}=K_p\frac{du_r(t)}{dt}+K_d\frac{d^2u_r(t)}{dt^2}+K_iu_r(t)\)$ 再按"导数阶次从高到低、输出在左输入在右"排好,就是标准形式。它是一个常系数(各 \(K\) 都是常数)、 线性的微分方程,方程里出现的最高导数是右边输入侧的二阶导 \(\ddot u_r\)。

【难点】这个方程里有二阶导,那这个系统是"二阶系统"吗?——不是,它是一阶系统。 - 难在哪:老师口述时说了"二阶的常系数的线性的微分方程",很容易顺手记成"这是二阶系统"。 但"方程里最高几阶导"和"系统是几阶"是两件事,后面 2.5 数阶次时按错的那套来数,会连锁全错。 - 正确理解:系统的阶次由输出侧决定,也就是传递函数分母(特征多项式)的最高次数, 和输入侧出现几阶导数无关。这里 $\(G(s)=K_p+K_ds+\frac{K_i}{s}=\frac{K_ds^2+K_ps+K_i}{s}\)$ 分母只有 \(s\) 一次方,所以是一阶。1.6 开头两边求导那一步,只是为了消掉积分号换个写法, 一点没改变系统本身,当然也不可能把一阶变成二阶。 - 顺带看清一件事:上式分子最高次(2)高于分母最高次(1)。第2讲讲过真实物理系统不允许这样 (输出不能比输入更超前,即因果性/系统惯性)。这恰恰印证了上面说的理想 PID 在物理上不可单独实现—— 它是一个数学上的理想调节器,真做出来必须给 D 项配一点惯性、把分母次数补上去。 这两处(1.5 的"纯微分不可实现"和这里的"分子次数>分母次数")说的是同一件事。 - 怎么数阶次,一句口诀带走:看分母,不看分子;看输出侧,不看输入侧。

【你可能会以为】两边求导会把方程改成另一个系统。 但其实等式两边同时做同一个运算,等式仍然成立,描述的还是同一个系统;求导只是换个写法把积分号消掉。 代价是初始条件信息要另行交代,考试里零初始条件默认不追究。

老师说这类题在考研里大约 10 分左右。诚实说一句:这道题思路不难,难在节点方程别列错、消元别算错, 它是"细心分",不是"聪明分"。

二、例题2:给一组微分方程,画动态结构图 + 多输入求传递函数

2.0 题面(先把题目摆出来,不然下面全是空转)

【来源说明】原题的方程组图片没有随材料给出,老师是对着屏幕逐条念的。下面这组方程是 依据转录里老师对每条方程的口述描述还原的(第几个方程是加减、是比例、含几阶导,老师都念到了), 并用最终答案反向验算过——用它走一遍梅森,能一字不差地得到老师给出的 \(\Phi_R\) 与 \(\Phi_{N_2}\)。所以它与原题等价,但不是逐字抄自原卷,写在这里是为了让你有题可做。

题目:已知某系统由下列方程组描述,输入为参考输入 \(r(t)\) 与两个扰动 \(n_1(t)\)、\(n_2(t)\), 输出为 \(c(t)\),\(x_1\sim x_5\) 为中间变量。要求:(1) 画出系统动态结构图; (2) 求 \(\Phi_R=C(s)/R(s)\)、\(\Phi_{N_1}=C(s)/N_1(s)\)、\(\Phi_{N_2}=C(s)/N_2(s)\)。

每个符号是谁(铁律:符号不许裸奔):

• \(r(t)\):参考输入,你希望输出去跟随的目标信号。
• \(n_1(t)\):扰动1,和 \(r\) 一起进第一个比较点(所以它作用的位置和 \(r\) 完全相同)。
• \(n_2(t)\):扰动2,从系统中段(第二个比较点)侵入。
• \(c(t)\):系统输出,也是被反馈回第一个比较点的量。
• \(x_1\):第一个比较点的输出,即"偏差"信号。\(x_2\):被放大后的偏差。 \(x_3\):第二个比较点的输出。\(x_4\):积分环节的输出。\(x_5\):送进最后那个二阶环节的输入。
• \(K_1\):方程(2)那个比例环节的放大倍数(纯数,无量纲)。
• \(T\):方程(4)那个积分环节的时间常数——\(T\) 越大,积分累积得越慢,系统反应越迟钝。
• \(K_2\):方程(5)里扰动 \(n_2\) 进入系统前经过的那个比例环节的系数(它前面的负号表示 \(n_2\) 是被"减"进去的)。
• \(K_0\):方程(6)那个二阶环节的增益。

2.1 动态结构图的三个零件

动态结构图(方框图):用图把系统各环节之间的信号流动关系画出来。它只有三种零件:

• 比较点:两路或以上信号在此相遇,输出 = 各输入信号的代数叠加(哪一路是减,就在那路箭头旁标负号)。
• 方框:任何信号经过方框,输出 = 输入 × 方框里的传递函数。所以方框就是一个乘法器。
• 引出点:从同一条信号线的不同位置引出几路,这几路的大小和性质完全一样——引出不消耗、不衰减。

【你可能会以为】从引出点分出两路,信号就被"分掉"了、各得一半。 但其实结构图里的信号是数学量不是水流,引出多少路,每路都是完整的原信号。 这个错觉会让你在化简结构图时全盘算错。

信号流动的单向性:结构图里的箭头方向是死的,信号只能顺箭头走、不能倒流。 这是"串联方框可以直接相乘"的前提,也是第2讲负载效应那个坑的另一面 ——(负载效应:后一级电路接上去会从前一级抽走电流、改变前一级的电压分配, 使得"两级串联的传递函数=各自传递函数相乘"不成立。只有当后级不从前级抽电流、即无负载效应时才能直接相乘。 运放的"虚断"正是用来消除负载效应的。)

2.2 从方程到图:一句话口诀

把方程逐条翻译: - 方程里只有加减 → 画一个比较点; - 方程是"输出 = 常数 × 输入" → 画一个比例环节方框; - 方程里有微分/积分 → 先对这条方程单独做拉氏变换,解出该环节的传递函数,再写进方框 (方框里只允许出现传递函数,不允许出现微分符号)。

逐条走一遍 2.0 那六个方程:

方程(4)含一阶导,变换后得 \(T\,sX_4(s)=X_3(s)\),即 \(\dfrac{X_4(s)}{X_3(s)}=\dfrac{1}{Ts}\), 这是积分环节(分母有单个 \(s\)),方框里写 \(\dfrac{1}{Ts}\)。 方程(6)含二阶导,把一阶导写成 \(s\)、二阶导写成 \(s^2\):\(s^2C(s)+sC(s)=K_0X_5(s)\), 两边交叉相乘整理得该环节传递函数 \(\dfrac{C(s)}{X_5(s)}=\dfrac{K_0}{s^2+s}\)。

【难点】画完图后必须做的一步:相同的信号予以合并。 - 难在哪:你按方程一条条画,同一个信号(比如 \(c(t)\)、\(x_5(t)\))会在图上出现好几次,看起来像好几个不同的量。 - 正确理解:同名信号就是同一根线,要把它们从引出点合并成一根,反馈回路才会显现出来。 不合并,图是散的,梅森公式无从下手。这是这类题最常丢分的地方。 本题要合并的有两处:方程(1)里的 \(c\) 与方程(6)输出的 \(c\) 是同一根线,方程(3)里的 \(x_5\) 与方程(5)输出的 \(x_5\) 是同一根线。合并后,两个反馈回路才冒出来。

2.2b 合并后的结构图(文字化)

主链(从左到右,顺箭头):

                            n2
                             |
                          [ K2 ]
                             | (-)
 r --(+)->[比较点1]--x1-->[ K1 ]--x2-->[比较点2]--x3-->[ 1/(Ts) ]--x4-->[比较点3]--x5-->[ K0/(s^2+s) ]--> c
 n1 -(+)-^   ^(-)                          ^(-)                                              |
             |                             |                                                 |
             |                             +-------------< 引出点Q <------------------------ +
             |                                                                               |
             +------------------------------< 引出点P(在 c 线上) <---------------------------+

读法(零基础照这个念一遍):

• 比较点1 汇三路:\(r\) 取正、\(n_1\) 取正、从输出 \(c\) 反馈回来的那路取负,输出 \(x_1\)。
• \(x_1\) 进方框 \(K_1\),出来 \(x_2\)。
• 比较点2 汇两路:\(x_2\) 取正、从 \(x_5\) 那条线上的引出点 Q 反馈回来的那路取负,输出 \(x_3\)。
• \(x_3\) 进方框 \(1/(Ts)\),出来 \(x_4\)。
• 比较点3 汇两路:\(x_4\) 取正、\(n_2\) 经方框 \(K_2\) 之后取负,输出 \(x_5\)。
• \(x_5\) 这条线上有引出点 Q:一路继续往右进方框 \(K_0/(s^2+s)\) 得到 \(c\),另一路反馈回比较点2。
• \(c\) 这条线上有引出点 P:一路是系统输出,另一路反馈回比较点1(取负)。

于是图上有两个回路,后面 2.5 就是数它们:

• 小回路(内环):比较点2 → \(1/(Ts)\) → 引出点 Q → 回比较点2(负号)。
• 大回路(外环):比较点1 → \(K_1\) → 比较点2 → \(1/(Ts)\) → 比较点3 → \(K_0/(s^2+s)\) → 引出点 P → 回比较点1(负号)。

2.3 线性系统的两个性质,和"多输入怎么办"

本题有三个输入:参考输入 \(r(t)\)、扰动 \(n_1(t)\)、扰动 \(n_2(t)\)。

• 参考输入(给定):你希望系统去跟随的目标信号。
• 扰动(干扰)输入:不是你想给、但确实作用在系统上的信号(电网波动、负载突变)。

线性系统的定义靠两条: - 叠加性:多个输入共同作用时的输出 = 各输入单独作用时输出之和。 - 齐次性:输入放大 \(a\) 倍,输出也放大 \(a\) 倍。 两条同时满足才叫线性系统。

于是多输入系统的做法是:求哪个输入的传递函数,就令其余输入全部为零。最终总输出: $\(C(s)=\Phi_R(s)R(s)+\Phi_{N_1}(s)N_1(s)+\Phi_{N_2}(s)N_2(s)\)$ 这式子在说什么:三路输入各自"经过自己那条通道"产生一份输出,加起来才是真实输出。 符号含义:\(\Phi_R\) 是"只有 \(R\) 作用时"输出对 \(R\) 的传递函数,下标标明它是对哪个输入而言的。

【你可能会以为】"令 \(n_1=0\)"是把那条线剪掉、系统结构变了。 但其实令某输入为零只是给它输入 0 这个信号,方框、回路一根都没少。 所以才有那条重要结论:输入换谁,分母(特征多项式)都不变,变的只有分子。 (PPT 幻灯片 48 原文:"在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益,其分母总是 □,变化的只是其分子。" ——原文该处是公式符号,文本导出时丢失,按上下文即特征式 \(\Delta\)。)

2.4 梅森增益公式(本讲的硬核,考点分析称"重中之重")

注意:字幕把"梅森"念成了"眉心""明训""培训",全是同一个 Mason(梅森/梅逊)。

先把两个贯穿全公式的词说清楚,否则下面每句都读不懂:

PPT 幻灯片 34 原文只有两句:"节点: 信号与变量叫节点。""支路:连接两个节点的有向线段,起于节点,终于节点。" 太抽象,下面按结构图翻译成人话(这部分是本讲的展开,不是 PPT 原文)。

• 节点:信号汇集/取用的那个"点"。在动态结构图上,每一个比较点、每一个引出点, 以及输入信号的起点、输出信号的终点,都是一个节点。 在 2.2b 那张图上,节点就是:\(r\) 的起点、\(n_1\) 起点、\(n_2\) 起点、比较点1、比较点2、比较点3、 引出点 Q、引出点 P、\(c\) 的终点。
• 支路:两个节点之间的那一段带箭头的线,连同这段线上的方框一起,它的"增益"就是这段线上方框的传递函数 (线上没方框就是增益 1;线的末端在比较点上标了负号,负号也算进这条支路的增益)。 在 2.2b 那张图上,"比较点1 → \(K_1\) → 比较点2"是一条支路,增益 \(K_1\); "引出点 Q → 比较点2"是另一条支路,增益 \(-1\)(因为在比较点2上标了负号)。
• 一句话记:节点是"点",支路是"点与点之间那一段"。 后面判"互不接触"时, 点要比、段也要比,两样都不共用才算互不接触。

逐项拆(据 PPT 幻灯片 47-49,要点转述): - \(P\):要求的总传递函数(从输入节点到输出节点的总增益)。 - \(n\):前向通道的条数。 - \(P_k\):第 \(k\) 条前向通道的通道增益 = 这条路上经过的所有方框传递函数的乘积。 - \(\Delta\):特征式(全称"梅森特征式"),\(\Delta=1-\sum L_1+\sum L_2-\sum L_3+\cdots\) - \(\sum L_1\):所有单独回路增益之和; - \(\sum L_2\):所有两两互不接触回路的增益乘积之和; - \(\sum L_3\):所有三个互不接触回路增益乘积之和;正负号交替。 - \(\Delta_k\):第 \(k\) 条前向通道的余因子式——把与这条通道相接触的回路全部划掉, 用剩下那部分图重新算一遍 \(\Delta\)。若所有回路都与该通道接触,则 \(\Delta_k=1\)。

配套定义(PPT 幻灯片 36 要点): - 前向通道:从输入(源)节点到输出(阱)节点,途中每个节点只经过一次的通路(不走回头路)。 - 回路:起点终点是同一个节点、中间每个节点只过一次的闭合通路。 - 互不接触回路:两个回路之间既没有公共节点,也没有公共支路。 - 回路增益:回路上各支路增益的乘积,包含反馈处的负号。

【难点】\(\Delta_k\) 的余因子,以及"两两不接触回路"。 - 难在哪:\(\Delta\) 是对整张图算的,\(\Delta_k\) 是对"删掉与第 \(k\) 条通道接触的回路之后"的图算的, 两者形状相似、极易混。而"不接触"要求节点和支路都不共用,学生常只查了节点。 - 为什么难:它要求你对同一张图做两次范围不同的扫描,而不是套一个死公式。 - 正确理解:\(\Delta\) 回答"整个系统内部有多少反馈在起作用";\(\Delta_k\) 回答"当信号走第 \(k\) 条路时, 哪些反馈跟它完全无关、还独立地在旁边转"。考点分析 p004 原文写"如果加深难度的话可能会在余子式方便变难" (原文笔误,此处按文意读作"方面")——这一条别糊弄过去。

2.5 本题的实际计算(可自行验算)

全部对照 2.2b 那张图来数。令 \(n_1=n_2=0\),求 \(\Phi_R(s)\):

• 前向通道只有一条(从 \(r\) 顺箭头到 \(c\),只有主链这一条路): 比较点1 → \(K_1\) → 比较点2 → \(1/(Ts)\) → 比较点3 → \(K_0/(s^2+s)\) → \(c\), 路上三个方框相乘:\(P_1=K_1\cdot\dfrac{1}{Ts}\cdot\dfrac{K_0}{s^2+s}\)
• 两个回路(就是 2.2b 末尾列的小回路和大回路):
• \(L_1=-\dfrac{1}{Ts}\):小回路(内环),经过方框 \(1/(Ts)\),再经引出点 Q 那条增益为 \(-1\) 的反馈支路回比较点2。
• \(L_2=-K_1\cdot\dfrac{1}{Ts}\cdot\dfrac{K_0}{s^2+s}\):大回路(外环),经过三个方框,再经引出点 P 那条 \(-1\) 支路回比较点1。
• 判互不接触:两回路都占用了"比较点2 → \(1/(Ts)\) → 比较点3"这一段(既共用节点也共用支路) → 接触 → 没有互不接触回路 → \(\sum L_2\) 项为零 → \(\Delta=1-(L_1+L_2)=1+\dfrac{1}{Ts}+\dfrac{K_0K_1}{Ts(s^2+s)}\)
• 求 \(\Delta_1\):前向通道与两个回路都有公共段 → 回路全被划掉、剩下空图 → \(\Delta_1=1\)

代入梅森公式 \(\Phi_R=\dfrac{P_1\Delta_1}{\Delta}\): $\(\Phi_R(s)=\frac{\dfrac{K_0K_1}{Ts(s^2+s)}\cdot 1}{1+\dfrac{1}{Ts}+\dfrac{K_0K_1}{Ts(s^2+s)}}\)$

【补前置:这一步的"通分"到底在干什么(别跳,零基础最容易死在这里)】 上式是"分式套分式",没法直接看。处理办法只有一个:把分子、分母同时乘以同一个东西,把里层的小分母全部清掉。 乘什么?——取所有小分母(\(Ts\) 和 \(Ts(s^2+s)\))的公共倍式,这里取 \(Ts(s^2+s)\) 就够(它已经能被 \(Ts\) 整除)。 "分子分母同乘一个非零的东西,分式的值不变",这是小学分数 \(\frac12=\frac{2}{4}\) 那条规则,换成含 \(s\) 的式子照样成立。

• 分子:\(\dfrac{K_0K_1}{Ts(s^2+s)}\times Ts(s^2+s)=K_0K_1\)(约干净了)。
• 分母逐项乘:
• \(1\times Ts(s^2+s)=Ts(s^2+s)=Ts^3+Ts^2\)(先乘开括号:\(s\cdot s^2=s^3\),\(s\cdot s=s^2\),再各乘 \(T\));
• \(\dfrac{1}{Ts}\times Ts(s^2+s)=s^2+s\)(\(Ts\) 上下约掉);
• \(\dfrac{K_0K_1}{Ts(s^2+s)}\times Ts(s^2+s)=K_0K_1\)。
• 把分母三项加起来并合并同类项: $\(Ts^3+Ts^2+s^2+s+K_0K_1=Ts^3+(T+1)s^2+s+K_0K_1\)$ (只有 \(Ts^2\) 和 \(s^2\) 是同类项——都是 \(s\) 的二次项——提出 \(s^2\) 得 \((T+1)s^2\);其余各项次数互不相同,合并不了。)

于是 $\(\Phi_R(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{K_0K_1}{Ts^3+(T+1)s^2+s+K_0K_1}\)$

• 关于 \(n_1\):\(n_1\) 与 \(r\) 进入的是同一个比较点、位置完全相同,所以 \(\dfrac{C(s)}{N_1(s)}=\dfrac{C(s)}{R(s)}\),一模一样,不必重算。
• 关于 \(n_2\):令 \(r=n_1=0\)。从 \(n_2\) 顺箭头到 \(c\) 只有一条路:\(n_2\) → 方框 \(K_2\) → 比较点3(在这里取负,所以整条通道带一个负号) → 方框 \(K_0/(s^2+s)\) → \(c\)。 故 \(P_1=-K_2\cdot\dfrac{K_0}{s^2+s}\)。回路是系统结构自带的,和信号从哪进来无关, 所以回路不变、\(\Delta\) 不变;这条通道同样和两个回路都接触,\(\Delta_1=1\): $\(\Phi_{N_2}(s)=\frac{-K_0K_2\,Ts}{Ts^3+(T+1)s^2+s+K_0K_1}\)$

验证与交叉印证:三个传递函数分母完全相同,正是 2.3 那条"分母不随输入改变"。 另外,分母最高次是 3,说明这是三阶系统;从方程组也看得出来——一个一阶环节串联一个二阶环节, 一阶+二阶=三阶。两条路对上了,说明算对了。养成"用两种方式互相验证"的习惯,比多做十道题有用。

• 阶次:传递函数分母多项式(即特征多项式)的最高次数。只看分母,不看分子;只看输出侧,不看输入侧 (回顾 1.6 那个坑:输入侧出现二阶导也不代表二阶系统)。
• "特征"这两个字什么意思:把分母令为零得到的方程 \(Ts^3+(T+1)s^2+s+K_0K_1=0\) 叫特征方程, 它的根叫系统的极点。这些根只由系统自身结构和参数决定,与输入是谁无关—— 也就是说它们刻画的是这个系统"生来是什么脾气":会不会震荡、会不会发散、反应快慢。 正因为它是"系统固有性质的指纹",才叫"特征"。
• 特征多项式为什么重要:它决定系统的稳定性和动态特性。第3章判稳(劳斯判据)、第4章根轨迹,啃的都是它。

【难点】"特征式 \(\Delta\)"和"特征多项式"不是同一个东西,这里零基础几乎必卡。

• 现象:上面算出的 \(\Delta=1+\dfrac{1}{Ts}+\dfrac{K_0K_1}{Ts(s^2+s)}\) 根本不是多项式——它带着分式。 而最终传递函数的分母 \(Ts^3+(T+1)s^2+s+K_0K_1\) 才是干干净净的多项式。学生看到两处都被叫"分母",就懵了。
• 正确区分:
• 梅森特征式 \(\Delta\):直接按 \(1-\sum L_1+\sum L_2-\cdots\) 拼出来的中间产物,回路增益带分母,所以它通常是分式。
• 特征多项式:把整个 \(P_k\Delta_k/\Delta\) 通分、约分、整理成"分子多项式/分母多项式"之后, 留在分母上的那个多项式。
• 二者什么关系:通分时分子分母同乘了同一个东西(本题是 \(Ts(s^2+s)\)), 所以"\(\Delta=0\)"和"特征多项式\(=0\)"解出来的根是同一批(只要没约掉零极点)。 这就是为什么可以说"分母就是 \(\Delta\)"——说的是它俩含的根信息一致,不是说它俩字面相等。
• 做题口径:判稳定、数阶次,一律用通分整理后的特征多项式;\(\Delta\) 只是通往它的路。 2.3 那句"分母(特征多项式)不变"、自测2 那句"分母就是特征式",讲的都是这个"根信息一致"的意义。

三、例题3:给结构图直接求闭环传递函数

先解释题目里的名词——"闭环传递函数":

• 开环:信号从输入一路走到输出就结束,输出不回头影响输入。像没有温度计的电暖气,你拧到几档就是几档, 屋里多少度它不管。
• 闭环:输出被引回来和输入比较,用两者的差去驱动系统。像空调,测到室温比设定值低就继续制热。 结构图上有反馈回路 = 闭环。
• 闭环传递函数:整个带反馈的闭合系统从输入 \(R(s)\) 到输出 \(C(s)\) 的传递函数 \(C(s)/R(s)\)。 强调"闭环"是为了和"开环传递函数"(把反馈回路断开、只沿前向通道加反馈通道乘一圈得到的那个)区分开。 这一讲要的都是闭环的那个,也就是梅森公式直接算出来的东西。开环传递函数第3、4、5章会大量用到,这里先不展开。

题目给一张结构图,其中引出点和比较点相互交叉,求闭环传递函数。

三种方法,老师明确表态: 1. 结构图化简(用等效变换规则搬动引出点、比较点):遇到交叉时,前移后移必然要穿过别的引出点/比较点, 极易出错,只推荐用于简单图。 (第2章 PPT 关于等效变换的第一条原则是"等效原则:前向通道的传函一定不变"——搬动时靠它保证等效。) 2. 梅森公式:强烈推荐。对结构图和信号流图都能直接用 (PPT 幻灯片 47 原文:"直接求取从源节点到阱节点的传递函数,不需简化信号流图,其也可直接用于系统结构图")。 3. 变量代换法:引入中间变量,把图还原成代数方程组再消元。老师说"不是我们在大学阶段应该掌握的",不提倡。 (为什么写出来:让你知道确实存在这条路且被明确否决了,不是被我省略掉的。)

3.1 题面:这张结构图长什么样

【来源说明】原图未随材料给出。下面的拓扑是由转录里老师逐条报出的通道增益与回路增益反推还原的 (老师报了三条前向通道 \(G_2\)、\(G_1G_2\)、\(G_1\),三个回路 \(-G_1\)、\(-G_1G_2\)、\(-G_1\), 并说明第三个回路是"\(G_1\) 乘 1 再乘 \(-1\)",还说明了合并节点会凭空多出的那个假回路), 反推结果与这六个增益逐一吻合、自洽可验证。它与原图等价,但不是原图的逐字复制。

先给节点起名:

• \(R\):输入。\(C\):输出。
• 引出点 P:在 \(R\) 出来后的那根线上(\(R\) 一进来就分叉)。
• 比较点 S1:紧接在引出点 P 之后。这就是题干说的"引出点和比较点相互交叉"的那一对。
• 引出点 Q:在方框 \(G_1\) 的输出线上。
• 比较点 S2:在方框 \(G_2\) 的输入侧。
• 比较点 S3:在方框 \(G_2\) 的输出侧,输出即 \(C\)。

连接关系(每条都是一条支路,箭头方向已写死):

                   +---------------------------------------------+
                   |            (直通支路, 增益1)                 |
                   v                                             |
 R --> 引出点P --> 比较点S1 --> [ G1 ] --> 引出点Q --> 比较点S2 --> [ G2 ] --> 比较点S3 --> C
          |            ^ (-)                  |                                  ^        |
          |            |                      +------(增益1直通支路)------------>+        |
          |            |                      |                                           |
          |            +---(-1 局部反馈)------+                                           |
          |                                                                               |
          +--(增益1)--> 比较点S2 (与上面那条S1路并行, 即R不经G1直接进S2)                    |
                       ^                                                                  |
                       |                                                                  |
 比较点S1 <----------------------------(-1 主反馈)---------------------------------------- +

一条条念清楚(这张图必须念一遍才能数对):

1. \(R\) 进来先碰到引出点 P,分两路:一路进比较点 S1(增益 1),另一路绕过 \(G_1\) 直接进比较点 S2(增益 1)。
2. 比较点 S1 的输出进方框 \(G_1\),输出到引出点 Q。
3. 引出点 Q 分三路:(a) 增益 \(-1\) 反馈回比较点 S1(局部负反馈);(b) 进比较点 S2; (c) 增益 1 直通到比较点 S3(绕过 \(G_2\))。
4. 比较点 S2 的输出进方框 \(G_2\),输出进比较点 S3。
5. 比较点 S3 的输出就是 \(C\);\(C\) 再经增益 \(-1\) 的主反馈回到比较点 S1。

3.2 本题的实际计算

前向通道三条(从 \(R\) 顺箭头走到 \(C\),每个节点只过一次):

• \(P_1=G_2\):\(R\) → 引出点 P → 比较点 S2 → \(G_2\) → S3 → \(C\)(整条路只经过 \(G_2\) 一个方框)。
• \(P_2=G_1G_2\):\(R\) → P → S1 → \(G_1\) → Q → S2 → \(G_2\) → S3 → \(C\)。
• \(P_3=G_1\):\(R\) → P → S1 → \(G_1\) → Q →(增益1直通)→ S3 → \(C\)。

回路三个(顺箭头能走回起点的闭合圈):

• \(L_1=-G_1\):S1 → \(G_1\) → Q →(\(-1\) 局部反馈)→ S1。
• \(L_2=-G_1G_2\):S1 → \(G_1\) → Q → S2 → \(G_2\) → S3 → \(C\) →(\(-1\) 主反馈)→ S1。
• \(L_3=-G_1\):S1 → \(G_1\) → Q →(增益1直通)→ S3 → \(C\) →(\(-1\) 主反馈)→ S1。

【难点】\(L_1\) 和 \(L_3\) 增益完全一样(\(-G_1\)),它们是同一个回路吗? - 不是。 它们的路径不同:\(L_1\) 走的是"Q 直接反馈回 S1"这条局部支路; \(L_3\) 走的是"Q → S3 → \(C\) → 主反馈 → S1"这条长路。增益碰巧相等,是因为 \(L_3\) 路上那两段的增益分别是 \(1\) 和 \(-1\),乘起来正好等于 \(L_1\) 那条支路的 \(-1\)。 - 判定回路靠的是路径是否不同,不是增益是否不同。增益相等的两个回路要分别计入,不能合并、更不能少算一个。 少算这一个,\(\Delta\) 就从 \(1+2G_1+G_1G_2\) 变成 \(1+G_1+G_1G_2\),整题错。 - 这也是为什么"不看图只看增益列表"必然做不对这类题——增益列表是结果,图才是依据。

三个回路都占用了"S1 → \(G_1\) → Q"这一段(节点、支路都共用) → 没有互不接触回路,所以 \(\sum L_2\) 那一项为零: $\(\Delta=1-(L_1+L_2+L_3)=1+2G_1+G_1G_2\)$ 三条前向通道都与三个回路接触 → \(\Delta_1=\Delta_2=\Delta_3=1\): $\(\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G_2+G_1G_2+G_1}{1+2G_1+G_1G_2}\)$

3.3 【难点】老师专门警告的那个错:别把结构图转成信号流图

• 现象:很多同学习惯先把动态结构图改画成信号流图再用梅森。改画时,注意到 3.1 那张图里 \(R\) → 引出点 P、引出点 P → 比较点 S1 这两段支路增益都是 1,就顺手 把 \(R\)、引出点 P、比较点 S1 这三个点合并成一个节点。
• 后果:合并之后,原本"引出点 P → 比较点 S1"这一段的信号流动方向被抹掉了。 于是主反馈从 \(C\) 回到这个合并节点后,可以"倒着"沿 P→S2 那条支路流出去, 经 \(G_2\) 再回到 \(C\)——图上凭空冒出一个增益 \(-G_2\) 的"回路"。 可实际图上 P 到 S1 是单向的,信号不可能这么走。\(\Delta\) 于是被多减了一项 \(-G_2\),整题崩。
• 为什么难:合并"增益为 1 的相邻节点"在很多场合确实是合法化简,错觉很强; 错的不是合并本身,是方向信息丢了。
• 正确做法:拿到动态结构图就直接在结构图上用梅森,按箭头找前向通道、找回路,不做多余转换。 每多一步转换就是一次新的出错机会。

判定回路的唯一标准:沿着箭头方向能走回起点。逆着箭头凑出来的"闭合圈"不是回路。

这一讲的骨架

1. 电路求模型:先复阻抗 + 运放虚短虚断,在 \(s\) 域列代数方程求传递函数。 反相运放的母公式 \(G=-Z_f/Z_1\) 不是背来的,是"虚地 + A 点 KCL"两步推出来的; 负号来自信号加在反相端。要微分方程就用 "乘 \(s\) ↔ 求导、除 \(s\) ↔ 积分"翻译回时域,有积分号就两边求一次导化成标准形式。
2. 典型的 RC 运放网络化简后是 \(K_p+K_ds+K_i/s\),即 PID 调节器: P 改增益(影响稳定性与稳态误差),D 加快响应,I 减小误差。 阶次看分母、看输出侧:PID 的 \(\frac{K_ds^2+K_ps+K_i}{s}\) 分母一次 → 一阶系统, 哪怕时域方程里挂着 \(\ddot u_r\)。分子次数>分母次数 ⇒ 理想 PID 物理上不可单独实现。
3. 方程 → 结构图:加减画比较点、乘画方框、含微积分的先单独拉氏变换求出该环节传函; 画完必须合并同名信号,否则看不见回路。
4. 多输入:靠线性系统的叠加性,求谁的传函就令其余输入为零; 分母(特征式)恒定不变,只有分子变。
5. 梅森公式 \(P=\dfrac{1}{\Delta}\sum P_k\Delta_k\) 是本章最该练熟的工具; 死穴在互不接触回路(节点、支路都不共用才算)和余因子 \(\Delta_k\)。 梅森特征式 \(\Delta\) 通常是分式,通分整理后分母上那个才是特征多项式;二者根信息一致, 但数阶次、判稳一律用后者。
6. 拿到结构图就直接用梅森,别转信号流图——合并增益为 1 的相邻节点会抹掉方向,凭空多出假回路。
7. 数回路看路径,不看增益:两个回路增益相同(如例题3 的 \(L_1=L_3=-G_1\))仍是两个回路,必须都算。

诚实提醒:这一讲每个概念第一遍看不懂都很正常。最常见的卡点是 (a) 复阻抗为什么能当电阻用;(b) \(\Delta_k\) 到底要删掉什么;(c) 画完结构图不知道要合并同名信号; (d) \(\Delta\) 和特征多项式长得不一样却都被叫"分母"。 卡在这四处不是你笨,是这四处本来就很少被讲清楚。

自测(戳穿假懂版)

1. 一个电路:输入端串一个 \(R_1\) 接到理想运放反相端,反馈支路是 \(R_2\) 与 \(C\) 串联接在反相端与输出端之间, 同相端接地。写出它的传递函数,并说出它是 PI、PD 还是 PID。 要求:不许直接背 \(-Z_f/Z_1\),按 1.3 的走法自己用虚地 + KCL 列一遍再化简。 - 答案要点:虚断 ⇒ A 点只有输入、反馈两条支路且是同一股电流;虚短 + 同相端接地 ⇒ \(U_A=0\)。 对 A 点写 KCL:\(\dfrac{U_r-0}{Z_1}=\dfrac{0-U_c}{Z_f}\),得 \(G(s)=-\dfrac{Z_f}{Z_1}\)。 本题 \(Z_1=R_1\),\(Z_f=R_2+\dfrac{1}{Cs}\)(串联相加),所以 \(G(s)=-\left(\dfrac{R_2}{R_1}+\dfrac{1}{R_1Cs}\right)\), 形态是"常数 + 常数\(/s\)" → PI 调节器,没有微分项。 - 答错说明你卡在:不会把 \(R\)、\(C\) 换成复阻抗直接套欧姆定律;或列 KCL 时忘了代 \(U_A=0\)(丢负号); 或不会按 \(K_p+K_i/s\) 的形态认环节。

2. 某系统求 \(C(s)/R(s)\) 得到分母 \(1+G_1H_1+G_1G_2\)。现在改求同一张图里 \(C(s)/N(s)\), 你不用算就能说出分母是什么吗?为什么? - 答案要点:还是 \(1+G_1H_1+G_1G_2\)。因为分母是特征式 \(\Delta\),由系统内部的回路结构决定, 与"信号从哪个节点进来"无关;换输入只换前向通道(\(P_k\)、\(\Delta_k\)),即只换分子。 - 答错说明你卡在:以为"令其他输入为零"改变了系统结构。

3. 两个回路:回路甲经过方框 \(G_2\),回路乙经过方框 \(G_3\),但它们共用了 \(G_1\) 前面的那条信号线。 它们算不算互不接触?\(\Delta\) 里要不要写 \(L_甲L_乙\) 这一项? - 答案要点:算接触,因为共用了支路(定义要求节点和支路都不共用)。所以不写乘积项, \(\Delta=1-(L_甲+L_乙)\)。 - 答错说明你卡在:只查了有没有公共节点、漏了公共支路——这是特征式/余因子最常见的失分点。

4. 给 \(G(s)=\dfrac{2s^2+5s+3}{s}\),(a) 写出它对应的时域微分方程(输入 \(r\)、输出 \(c\)); (b) 说出它由哪些典型环节组成;(c) 它是几阶系统? 说清你是按什么数的。 - 答案要点:(a) 交叉相乘得 \(sC(s)=(2s^2+5s+3)R(s)\),翻回时域 \(\dot c(t)=2\ddot r(t)+5\dot r(t)+3r(t)\)。 (b) 拆开看 \(G=2s+5+\dfrac{3}{s}\),是微分 + 比例 + 积分,即 PID。 (c) 一阶。因为阶次看的是分母(特征多项式)的最高次,分母只有 \(s\) 一次方。 方程里那个 \(\ddot r\) 在输入侧,和系统阶次无关。顺带:分子最高次 2 > 分母最高次 1, 说明这是个物理上不可单独实现的理想 PID(见 1.6)。 - 答错说明你卡在:(c) 答"二阶"= 把"方程里最高几阶导"当成了系统阶次,这是本讲 1.6 专门挖出来的坑, 第3章数阶次、判稳会连锁全错;(a) 答不出 = \(s\) 与求导的对应没形成条件反射。

5. 有人说:"结构图里从引出点分出两路,所以每路信号强度只有原来的一半。"错在哪? - 答案要点:引出点不分流,每路都是完整的原信号。结构图描述的是数学变量之间的关系,不是能量分配; 真实电路里"后级会不会拖累前级"属于负载效应,那是在建模阶段就该处理掉的事(靠运放隔离), 不该在结构图上再打折扣。 - 答错说明你卡在:把结构图当成了物理电路图。

知识地图

向前串(这一讲依赖什么) - 第1讲:控制系统基本概念、反馈的含义。 - 第2讲:微分方程建模、拉氏变换、传递函数定义、典型环节、结构图与信号流图、负载效应。 这一讲就是第2讲全部工具的一次实战。 - 数学/物理前置(本讲已就地补):导数与积分的直觉、基尔霍夫电流定律、欧姆定律、复数变量记号 \(s\)、代数消元。

横向串(本讲内部)

电路原理图 --复阻抗 + 虚短虚断--> s域代数方程组 --消元--> 传递函数
   传递函数 <--"乘s ↔ 求导" 双向翻译--> 微分方程
   微分方程组 --逐条翻译 + 合并同名信号--> 动态结构图 --梅森公式--> 各输入各自的传递函数

四种描述(微分方程 / 传递函数 / 结构图 / 信号流图)是同一个系统的四种语言,可任意互译。 考试爱考的正是"给你其中一种,要你交出另一种"。

向后串(后面在哪用) - 第3章 时域分析:拿到传递函数先看特征多项式——判稳定性(劳斯判据)、算稳态误差。 本讲例题2 那个三阶分母就是第3章的直接输入。多输入叠加的思路会变成"给定误差 vs 扰动误差" (考点分析 p005 明说这两个概念"很容易混淆",且"现在误差这块会和结构图一块去考")。 - 第4章 根轨迹:研究特征多项式的根随参数怎么移动。 - 第5章 频域:把典型环节(比例/微分/积分)一个个画成 Bode 图,本讲拆 PID 的三项就是那里的积木。 - 第6章 校正:PID 调节器在这里正式登场,本讲"P 改增益、D 提速、I 消差"就是校正设计的出发点。 - 第7章 离散系统:结构图化简与梅森思路平移到脉冲传递函数 (考点分析 p006 提到离散结构图会结合误差传函考察)。