第2章 典型例题解析

上一讲讲的是"概念"（微分方程、传递函数、结构图、信号流图、梅森公式是什么）。这一讲把这些概念拿去做题，一共三道例题，恰好覆盖第二章在考卷上最常出现的三种问法：

1. 给你一个电网络，求它的两种数学模型（时域微分方程 + 复域传递函数），并说明它在系统里起什么作用。
2. 给你一组微分方程，让你画出动态结构图，再求传递函数（而且是多输入系统，要用叠加原理）。
3. 给你一个动态结构图，直接求闭环传递函数（用梅森公式，并躲开一个经典陷阱）。

老师反复强调"第二章很简单、不该失分"。这句话你别当真安慰——它的潜台词是：这几类题方法固定、步骤可背，所以判卷时错一步就扣一步，属于"送分也送命"的题。本讲的目标是把三套固定流程刻进你脑子，同时把每一步"为什么这么走"讲透，而不是让你机械照抄。

据 26 北方工业大学考点分析：电路模型（RC + 运算放大器）求传函"近几年一直没考察过"，但被列为"25 年新加题型"要求掌握；梅森公式是"重中之重、必须会"，现在多与稳态误差、劳斯判据结合考，难点会出在"两两不接触回路"和"余子式"上。所以本讲第三部分（梅森）是重心。

第一遍看不懂很正常。 本讲真正的坎有三个：复阻抗法为什么能把电路"翻译"成代数方程（例题一）、从微分方程组画结构图时"节点怎么设"（例题二）、梅森公式里 \(\Delta\) 和 \(\Delta_k\) 到底怎么数（例题三）。这三处我都标了【难点】。

例题一：电网络 → 微分方程 + 传递函数（它其实是个 PID 调节器）

题目在问什么

给一个有源网络（有源 = 含运算放大器这种需要供电、能放大的器件；无源 = 只有电阻电容电感）。要求两件事：

1. 求它在时域里的微分方程，和在复域（拉氏域）里的传递函数。
2. 分析：把这个网络放进一个控制系统里，它会起到什么"校正（矫正）"作用？

两条解题路线，为什么选第二条

老师给了两种方法，你要理解它们的差别，而不是背"选第二个"：

• 路线一（时域法）：先在时域用电路定律列微分方程组 → 消去中间变量 → 得到只含输入输出的微分方程 → 再拉氏变换得传递函数。
• 路线二（复阻抗法 / 运算阻抗法）：一上来就把电路元件"翻译"成复阻抗，直接在复域列代数方程 → 消元得传递函数 → 需要微分方程时再从传递函数反解回去。

为什么推荐路线二：时域法要处理微分和积分（电容电流是 \(i=C\,\mathrm{d}u/\mathrm{d}t\)，电感电压含微分），列出来的是微积分方程组，消元很痛苦。复阻抗法把"微分/积分"这种运算，提前用拉氏变换换成了"乘除 \(s\)"这种纯代数运算，于是整个电路就变成了一个"电阻电路"，用最简单的欧姆定律和基尔霍夫定律就能列方程。这正是上一讲"拉氏变换把微分方程翻译成代数方程"那句话的实战体现。

【难点】复阻抗（运算阻抗）法到底在干什么，难在哪。 难在你会觉得"电容怎么突然变成一个'电阻' \(\frac{1}{Cs}\) 了"。 正确理解：复阻抗是"把元件的伏安关系拉氏变换后，写成 \(U(s)=Z(s)\cdot I(s)\) 的那个 \(Z(s)\)"。 - 电阻：伏安关系 \(u=Ri\)，拉氏变换 \(U(s)=R\,I(s)\)，所以复阻抗 \(Z_R=R\)（不变）。 - 电容：\(i=C\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\)，零初始条件下拉氏变换 \(I(s)=Cs\,U(s)\)，即 \(U(s)=\frac{1}{Cs}I(s)\)，所以复阻抗 \(Z_C=\dfrac{1}{Cs}\)。 - 电感：\(u=L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\)，同理 \(Z_L=Ls\)。

一旦这么替换，电路里所有"微分/积分关系"都变成了"乘一个含 \(s\) 的式子"，于是电容电感电路和纯电阻电路长得一模一样，可以直接用串并联、分压、基尔霍夫定律去列代数方程。这不是魔法，是"拉氏变换 + 零初始条件"的结果。串联的 \(R\) 与 \(C_1\)，其复阻抗就是 \(R+\frac{1}{C_1 s}\)（串联阻抗相加，和电阻串联同理）。

有源运放的两个"作弊器"：虚短、虚断

列节点方程时用到理想运放的两条铁律，务必记牢（这是列方程的前提）：

• 虚短：运放同相端与反相端电位相等。本题信号加在反相端、同相端接地，所以两个输入端电位都 \(=0\)。这就是转录里"a 点和 b 点等电位，且电位等于零"。
• 虚断：运放两个输入端没有电流流入（输入阻抗无穷大）。所以流到某个输入节点的电流，会全部从它旁边的反馈支路流走——这就给了你"流入电流 = 流出电流"的节点电流方程（基尔霍夫电流定律 KCL）。

有了这两条，就能对电路里的关键节点逐个列 KCL 方程，然后消去中间变量（那些既不是输入 \(U_r(s)\) 也不是输出 \(U_c(s)\) 的中间电位），最后得到 \(\dfrac{U_c(s)}{U_r(s)}\)。

【内容说明】转录里这一段的具体电路和逐项算式被字幕严重糊掉了（元件下标、\(U_a\)/\(U_e\)/\(U_c\) 混读，分子分母多处错位），照抄会误导你。所以这里只讲通用方法和最终结论，不复述那串被 ASR 打乱的中间算式。你要掌握的是"复阻抗替换 → 虚短虚断列 KCL → 消元"这个流程；具体某道题的元件参数，考场上按上面流程自己列即可。原始念白可回查完整转录。

关键结论：这个网络就是一个 PID 调节器

不管中间算式多长，这道题的题眼是：算完发现这个有源网络的传递函数，整理后长成三项之和的形式——

对照上一讲/PPT 的典型环节：

• \(K_p\)（常数）：比例环节。据 PPT 幻灯片29，比例环节 \(G(s)=K\)，输入输出成比例。
• \(\dfrac{K_i}{s}\)（常数除以 \(s\)）：积分环节。据 PPT 幻灯片31，积分环节 \(G(s)=\dfrac{k}{s}\)（形如 \(K_i\cdot\frac{1}{s}\)）。
• \(K_d\,s\)（常数乘 \(s\)）：（理想）微分环节。据 PPT 幻灯片32，理想微分环节 \(G(s)=\tau s\)。

这三项加起来，就是经典控制里最重要的调节器：PID 调节器（比例 Proportional + 积分 Integral + 微分 Differential）。老师原话：经典控制里"几乎所有问题都围绕这种调节器展开"。

三个部分各管什么（这是题目第二问"校正作用"的答案，也是考点）：

【你可能会以为】"算出来传递函数前面有个负号，这个负号很重要，必须一直带着。" 但其实：这个负号来自"信号加在运放反相输入端"，物理意义只是"信号过这个网络会反相一次"。在把它当作 PID 调节器分析结构和作用时，工程上不纠结这个负号（把它并入前后级考虑即可）。所以老师说"传递函数里不格外留意这个负号"。 注意边界：这是"分析该网络充当什么调节器"时的处理。如果考题明确要求写出这个网络精确的传递函数，负号该写还得写——别把"分析时忽略"错记成"负号不存在"。

【难点】为什么求出传递函数后，反求微分方程"就没困难了"。 因为传递函数和微分方程是同一个系统的两种语言，可以互译（上一讲讲过）。互译规则：复变量 \(s\) 对应时域的微分算子 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\)，\(s^2\) 对应二阶导，\(\frac{1}{s}\) 对应积分。 从 \(\dfrac{U_c(s)}{U_r(s)}=K_p+\frac{K_i}{s}+K_d s\) 出发，交叉相乘、把 \(s\to\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\) 还原，就得到含积分项的时域关系 \(u_c(t)=K_p u_r(t)+K_d\frac{\mathrm{d}u_r}{\mathrm{d}t}+K_i\!\int u_r\,\mathrm{d}t\)。 微分方程里出现积分号是"不标准"的（我们习惯只含各阶导数），所以对两边再求一次导消掉积分号，最终得到一个二阶常系数线性微分方程。这一步的意义：让你明白"求微分方程"和"求传递函数"是一件事的两面，做出一个另一个白送。

这道题分值：老师说约"十分左右"，属于不该失分的送分题。

例题二：由微分方程组 → 动态结构图 → 多输入传递函数

建结构图的总纲：化整为零，集零为整

上一讲讲过建结构图分两步，这里落地：

1. 化整为零：把系统拆成若干子系统，写出每个子系统的方程（时域微分方程或复域代数方程）。注意子系统之间有没有信号联系（后一级是不是前一级的负载）。
2. 集零为整：按信号流动的单向性，把各环节按信号传递顺序连起来，拼成整张结构图。

本题的特殊之处：系统不是用电路原理图给的，而是直接给一组微分方程。你要把每个方程"翻译"成结构图的一个部件。

结构图的三个部件 ↔ 方程里的三种运算

这是本题的核心对应关系，务必吃透（据 PPT 幻灯片h-2 第18-20行，结构图基本单元为信号线、引出点、比较点、方框）：

于是"读方程画图"的规则就清晰了：

• 方程里是加减 → 画一个比较点。
• 方程里是乘一个系数/传递函数 → 画一个方框。
• 同一个信号在多个方程里被用到 → 用引出点把它复制出去。

【难点】方程里出现微分号时怎么办。 难在：结构图的方框里只能放传递函数（\(s\) 的代数式），不能放 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\)。 正确做法：遇到含微分的方程，先单独对这个方程做拉氏变换，把 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\to s\)、二阶导 \(\to s^2\)，解出这一环节的传递函数（如本题里 \(s\,X_4(s)=X_3(s)\) 对应积分环节 \(\frac{1}{s}\)；末级 \(\frac{C(s)}{X_5(s)}=\frac{k_0}{s^2+s}\) 之类的二阶环节），再把这个传递函数写进方框。 一句话：方框里永远是传递函数，微分方程必须先变换成传递函数再入框。

按这个流程，把每个方程画成部件、按信号顺序（\(x_1\to x_2\to\cdots\to x_5\to c\)）连起来，就得到整张动态结构图。本题输入不止一个：既有参考输入 \(R(s)\)，又有扰动输入 \(N_1\)、\(N_2\)。

多输入系统：靠线性叠加原理各个击破

系统有三个输入 \(r,\ n_1,\ n_2\)，要分别求它们各自到输出 \(c\) 的传递函数。凭什么能"分别"求？——线性系统的叠加性。

【难点 + 概念澄清】为什么求某一个输入的传递函数时，可以把其它输入令为零。 线性系统满足两个性质：叠加性（多个输入共同作用的输出 = 各输入单独作用输出之和）和齐次性（输入放大 \(k\) 倍，输出也放大 \(k\) 倍）。 由叠加性：\(C = C_r + C_{n_1} + C_{n_2}\)（三个输入各自单独作用产生的输出之和）。 所以要单独考察 \(r\) 的作用，就令 \(n_1=n_2=0\)，此时输出只由 \(r\) 产生，\(\dfrac{C(s)}{R(s)}\) 就是 \(r\) 单独作用的传递函数。这不是近似、不是简化，而是叠加性给的严格结论——这一步是"分别求"合法性的全部依据，没有它就不能拆。 反过来提醒：只有线性系统能这么拆。经典控制默认线性，所以能用；非线性系统不满足叠加性，不能这么做。

用梅森公式求各输入的传递函数（本题也可用，先小试）

求出结构图后不必化简，直接套梅森公式（下一题会详细讲公式本身）。本题要点：

• 参考输入 \(R\) 作用下：找前向通道（本题一条）、找独立回路（本题两个，且互相接触），算出特征式 \(\Delta\) 和余因子，得到 \(\dfrac{C(s)}{R(s)}\)。整理后分母最高次是 \(s^3\)——三阶系统。为什么是三阶？因为方程组里一个一阶环节串联一个二阶环节，\(1+2=3\)；这一点从传递函数分母（即特征多项式）最高阶次也能直接读出来（阶次 = 分母最高次）。

【你可能会以为】"扰动 \(N_1\) 的位置和 \(R\) 不一样，它的传递函数肯定要重新费劲算一遍。" 但其实：本题里 \(N_1\) 和 \(R\) 进入结构图的位置完全相同（同一个比较点），所以 \(\dfrac{C(s)}{N_1(s)}\) 和 \(\dfrac{C(s)}{R(s)}\) 完全一样，直接搬过来即可。判断依据是"两个输入是否从同一处、经同样的前向通道进入系统"，不是靠背。

【你可能会以为】"换一个输入，整个传递函数（连分母）都得重算。" 但其实：同一个系统，不管哪个输入作用，传递函数的分母（特征多项式 \(\Delta\)）永远不变，变的只有分子。原因见梅森公式：\(\Delta\) 只由系统的回路结构决定，与"从哪个输入看"无关；换输入只是换了前向通道 \(P_k\) 和余因子 \(\Delta_k\)（分子部分）。本题 \(N_2\) 作用下的传递函数分母和 \(R\) 的一模一样，正是这条的验证。这也和 PPT 幻灯片48 原话一致："在同一个信号流图中不论求任何一对节点间的增益，其分母总是 \(\Delta\)，变化的只是分子。"

例题三：由结构图直接求闭环传递函数（梅森公式主场 + 一个大坑）

三种方法，为什么独推梅森

给定结构图求闭环传递函数，常见三种方法：

1. 结构图化简（等效变换）：靠比较点/引出点前移后移逐步化简。缺点：当引出点和比较点相互交叉时，移动过程容易出错（据 PPT 幻灯片h-2 第451行，"尽量避免综合点和引出点之间的移动"）。只适合简单结构图。
2. 梅森增益公式：不用化简，找到前向通道和回路直接套公式。结构图和信号流图都能用。本讲主推。
3. 变量代换法：引入中间变量把图还原成代数方程组、消元。老师说"不是大学阶段该掌握的"，不推荐（这里如实转述老师观点，非考纲结论）。

据 26 北方工业大学考点分析：该校"不要求结构图化简，求出来即可，用化简或梅森都行"，且梅森是必考、会与误差/劳斯结合。所以把梅森练熟是性价比最高的选择。

梅森增益公式（严格版，据 PPT 幻灯片47-50 逐字核对）

总传递函数：

其中：

• \(n\)：前向通道的条数；\(P_k\)：第 \(k\) 条前向通道的总增益（该通道上所有环节传递函数的乘积）。
• \(\Delta\)：特征式， $\(\Delta = 1-\sum L_1+\sum L_2-\sum L_3+\cdots\)$
• \(\sum L_1\)：所有不同回路的回路增益之和；
• \(\sum L_2\)：所有两两互不接触回路的增益乘积之和；
• \(\sum L_3\)：所有三三互不接触回路的增益乘积之和；依此类推，符号正负交替。
• \(\Delta_k\)：第 \(k\) 条前向通道的余因子——把 \(\Delta\) 中与第 \(k\) 条前向通道相接触的回路项全部去掉后剩下的部分（即只保留"和这条前向通道不接触"的那些回路算出的特征式）。

术语精确定义（PPT 幻灯片h-2 第614-621行）： - 前向通道：从源节点到阱节点、每个节点只经过一次的通路。 - 回路：起点等于终点、每个节点只经过一次的闭合通路。 - 互不接触回路：两回路之间既无公共节点、又无公共支路。 - 回路增益/回路传输：回路中各支路增益的乘积（反馈回路通常带负号）。

【难点】\(\Delta\) 和 \(\Delta_k\) 是全卷最容易错的地方，也是北方工大明说"可能加难"的点。 难点一：\(\Delta\) 里的 \(\sum L_2\)、\(\sum L_3\)——只统计"互不接触"的回路组合。如果所有回路两两都接触（像本题），那 \(L_2=L_3=\cdots=0\)，\(\Delta\) 就只剩 \(1-\sum L_1\)。很多人漏判"接触"关系，硬凑乘积项，或该有的乘积项漏掉。 难点二：\(\Delta_k\)（余因子）不一定等于 1。只有当"每条回路都和这条前向通道接触"时 \(\Delta_k=1\)；若存在与该前向通道不接触的回路，\(\Delta_k\) 要把那些回路重新算进去。本题三条前向通道都和所有回路接触，所以 \(\Delta_1=\Delta_2=\Delta_3=1\)——但这是本题的特殊情况，别当成通用结论去背。 记忆抓手：\(\Delta\) 是"全图的特征式"，\(\Delta_k\) 是"假装删掉第 k 条前向通道碰过的回路后，剩下那部分图的特征式"。

本题的经典陷阱：别把结构图硬转成信号流图

【你可能会以为】"梅森公式是给信号流图用的，所以我先把结构图改画成信号流图，再套公式更保险。" 但其实：这一步转换恰恰是本题最容易出错的地方，梅森公式对结构图可以直接用（PPT 明说"也可直接用于系统结构图"），没必要转。 具体坑在哪：参考输入 \(R\) 出来后紧跟着一个引出点和一个比较点。转信号流图时，学生常把"参考输入 + 引出点 + 比较点"错误地合并成一个节点。一合并，就会凭空多出一条"看起来像回路"的通路（信号从 CS 返回、绕回这个合并节点）。 为什么它其实不是回路：引出点与比较点之间那段线的信号流动方向，和你以为的那个"回路"方向相反。回路要求信号沿单一方向闭合，方向对不上就不成回路。误加这条假回路，\(\Delta\) 就算错，整题崩。 正确做法：拿到结构图就在结构图上直接找前向通道、找回路，按信号单向流动老老实实数，不要转信号流图自找麻烦。

按此，本题（前向通道多条、回路间两两接触）套梅森公式，\(\Delta=1-\sum L_1\)（因回路两两接触，无 \(L_2\) 项），各 \(\Delta_k=1\)，即可直接写出闭环传递函数 \(\dfrac{C(s)}{R(s)}=\dfrac{\sum P_k}{\,1-\sum L_1\,}\)。这类题分值约十分；即便不单独出大题，也常作为大题的"第一步"（先求对传递函数，后面误差/稳定性的问才有得做），所以必须熟练。

这一讲的骨架

真正要带走的几句话：

1. 电网络求模型：优先用复阻抗法（\(R\to R\)，\(C\to\frac{1}{Cs}\)，\(L\to Ls\)），把电路变成"电阻电路"直接列代数方程；有源运放靠虚短（两输入端等电位）+ 虚断（输入端无电流）列 KCL。算完常发现它是个 PID 调节器：\(G(s)=K_p+\frac{K_i}{s}+K_d s\)，比例调增益、微分加快响应、积分降误差。
2. 由方程组画结构图：比较点=加减、方框=乘（里面只放传递函数）、引出点=复制；遇微分号先拉氏变换成传递函数再入框；按信号单向性连线。
3. 多输入系统：靠叠加性逐个求（求一个输入令其余为零）；分母（特征式 \(\Delta\)）与输入无关，恒定不变，只有分子随输入变。
4. 梅森公式（重中之重）：\(P=\frac{1}{\Delta}\sum P_k\Delta_k\)，\(\Delta=1-\sum L_1+\sum L_2-\cdots\)；难点全在 \(\sum L_2\)（只数互不接触回路组合） 和 \(\Delta_k\)（余因子，不一定是1）。结构图能直接用梅森，别转信号流图（会误加假回路）。

自测（戳穿假懂版）

1. 一个电容 \(C\)，为什么在复阻抗法里写成 \(\frac{1}{Cs}\) 而不是别的？请从它的伏安关系推一遍。

2. 要点：\(i=C\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\)，零初始条件拉氏变换 \(I(s)=Cs\,U(s)\)，故 \(U(s)=\frac{1}{Cs}I(s)\)，复阻抗即 \(\frac{1}{Cs}\)。答不出说明你只是背了"电容变成 \(\frac{1}{Cs}\)"，没懂它是"伏安关系的拉氏变换"。

3. 某传递函数为 \(G(s)=\dfrac{2s^2+3}{s}\)。它对应哪几个典型环节的组合？各起什么调节作用？

4. 要点：\(=\frac{3}{s}+2s\)，即积分环节（降误差）+ 微分环节（加快响应）。若你只会说"是个二阶系统"就是没抓住"拆成典型环节之和"这个视角。

5. 一个结构图有 3 个回路，其中回路1与回路2互不接触，回路3与前两者都接触。写出 \(\Delta\)。

6. 要点：\(\Delta=1-(L_1+L_2+L_3)+(L_1 L_2)\)。只有"1和2"这一对互不接触，进 \(\sum L_2\)；无三不接触项。若你写成 \(1-(L_1+L_2+L_3)+(L_1L_2+L_1L_3+L_2L_3)\)，就是没判"接触"关系，正中北方工大想挖的坑。

7. 某前向通道 \(P_1\)，图中还有一个回路 \(L_a\) 与这条通道不接触。求 \(P_1\) 对应的余因子 \(\Delta_1\)。

8. 要点：\(\Delta_1=1-L_a\)（把与 \(P_1\) 不接触的回路重新算进特征式）。若你不假思索写 \(\Delta_1=1\)，说明你把"本题恰好 \(\Delta_k=1\)"错记成了通用结论。

9. 同一个系统，参考输入 \(R\) 的传递函数分母是 \(s^3+2s^2+s+K\)。扰动 \(N\) 从系统中部注入。\(\dfrac{C}{N}\) 的分母是什么？为什么？

10. 要点：还是 \(s^3+2s^2+s+K\)。分母是特征式 \(\Delta\)，只由回路结构决定，与从哪个输入看无关；换输入只改分子。答"要重算"就是没懂梅森公式里分母的地位。

11. 有同学把结构图先转成信号流图，结果比标准答案多数出一个回路。最可能错在哪？

12. 要点：把参考输入/引出点/比较点错误合并成一个节点，凭空造出方向不符的"假回路"。根因是那段线的信号方向与所谓回路方向相反，不构成单向闭合。答不出说明例题三的陷阱没真理解。

知识地图

• 向前串：本讲三道题全部依赖上一讲的地基——拉氏变换（复阻抗法、微分号 \(\to s\) 都是它）、传递函数定义、结构图/信号流图/梅森公式这套"系统的四种语言"。复阻抗法本质就是"拉氏变换把微分方程变代数方程"的电路版实战。
• 横向串：这一讲把"微分方程 ↔ 传递函数 ↔ 结构图 ↔ 梅森公式"四种语言的互译练了个遍——例题一（微分方程↔传递函数）、例题二（微分方程组→结构图→传递函数）、例题三（结构图→传递函数）。它们是同一个系统的不同说法，做题时哪种顺手用哪种。
• 向后串：
• 梅森公式是后续大题的"入口工具"——第3章求稳态误差、劳斯判据判稳，都要先用它把传递函数求对（北方工大明说"梅森与误差、劳斯结合考"）。
• PID 调节器是第6章"线性系统的校正"的核心：本讲只是"认出它、知道三部分各管什么"，第6章要真正用 PID/超前滞后网络去设计校正。比例调增益、微分加快响应、积分降误差这三句，第6章还会反复用。
• 特征多项式（传递函数分母）是第3章稳定性、第4章根轨迹的主角——它的根就是系统的极点，决定稳定性和动态性能。本讲"分母=特征式、阶次=分母最高次"是那里的前置认知。