图 8-92 非线性系统结构图
\[N(A)=\frac{4}{\pi A}\sqrt{1-\left(\frac{1}{A}\right)^2}-\mathrm{j}\frac{4}{\pi A^2}=\frac{4}{\pi A^2}(\sqrt{A^2-1}-\mathrm{j})\qquad -\frac{1}{N(A)}=-\frac{\pi A^2}{4}\cdot\frac{1}{\sqrt{A^2-1}-\mathrm{j}}\]
\[=-\frac{\pi A^2}{4}\cdot\frac{\sqrt{A^2-1}+\mathrm{j}}{(\sqrt{A^2-1})^2+1}=-\frac{\pi}{4}\cdot(\sqrt{A^2-1}+\mathrm{j})\]
显然
\[\mathrm{Re}\left[-\frac{1}{N(A)}\right]<0,\quad \forall A\geqslant 1\]
\[\mathrm{Im}\left[-\frac{1}{N(A)}\right]=-\frac{\pi}{4}=-0.7854,\quad \forall A\]
频率特性 $\(G(\mathrm{j}\omega)=\frac{70}{(\mathrm{j}\omega)^2+10\mathrm{j}\omega+100}=\frac{70}{(100-\omega^2)+\mathrm{j}10\omega}\)$
若\(\omega=0\)，则\(G(\mathrm{j}0)=0.7\)；\(\omega=10\)，\(G(\mathrm{j}10)=-\mathrm{j}0.7\)；\(\omega\rightarrow\infty\)，\(|G(\mathrm{j}\infty)|=0\)。
画\(G(\mathrm{j}\omega)\)与\(-1/N(A)\)曲线如图8-93所示。由图知，\(G(\mathrm{j}\omega)\)与\(-1/N(A)\)无交点，故系统不会发生自振。
图 8-93 系统稳定性分析
8-32 设非线性系统如图8-94所示。试在\(c\text{-}\dot c\)相平面上绘出起始于\((-2,0)\)点的相轨迹，并求出相轨迹与开关线的两个交点的坐标值。
图 8-94 非线性系统结构图
解
\[e(t)=-c(t)\]
由图知
\[u(t)=\begin{cases}+1, & e>1\ \text{及}\ e>-1\ \text{且}\ \dot e<0\\ -1, & e<1\ \text{及}\ e<-1\ \text{且}\ \dot e<0\end{cases}\]
\[\ddot c+c=u\]
故相轨迹方程为