题海 · pdf-page · p.500
\[
\boldsymbol{x}_r(t) = \int_0^t \mathrm{e}^{A\tau}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau
\]
\[
= \left[\begin{array}{c}
\dfrac{1}{a(b-a)}t + \dfrac{1}{a^2(b-a)}(\mathrm{e}^{-at}-1) - \dfrac{1}{b(b-a)}t - \dfrac{1}{b^2(b-a)}(\mathrm{e}^{-bt}-1) \\[2mm]
\dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{a(a-b)}\mathrm{e}^{-at} - \dfrac{1}{b(a-b)}\mathrm{e}^{-bt}
\end{array}\right]
\]
(3) MATLAB 验证。最后，通过下列 MATLAB 程序验证，可知结果完全一致。
MATLAB 程序：exe918.m
syms a b x t
A=[-a 0;0 -b];B=[1/(b-a) 1/(a-b)]';
phi=Lphi(A);phi1=subs(phi,t,x)
f=phi1*B*(t-x);y=int(f,x,0,t);pretty(y)
调用函数：Lphi.m
function y=Lphi(A)
syms s
n=length(A);
A1=inv(s*eye(n)-A);
y=ilaplace(A1);
9-19 已知离散时间状态方程 \(\boldsymbol{x}(k+1) = \begin{bmatrix}-1 & 0\\1 & 1\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(k)\)，\(\boldsymbol{x}(0) = \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\)，试求该齐次方程的解。
解 由于此离散状态方程为齐次方程，可考虑采用迭代的方法求解
\[
\boldsymbol{x}(0) = \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}, \qquad
\boldsymbol{x}(1) = \begin{bmatrix}-1 & 0\\1 & 1\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(0) = \begin{bmatrix}-1\\0\end{bmatrix},
\]
\[
\boldsymbol{x}(2) = \begin{bmatrix}-1 & 0\\1 & 1\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(1) = \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}, \qquad
\boldsymbol{x}(3) = \begin{bmatrix}-1 & 0\\1 & 1\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(2) = \begin{bmatrix}-1\\0\end{bmatrix}, \cdots
\]
显然，该齐次方程的解为
\[
\boldsymbol{x}(k) = \begin{bmatrix}
(-1)^k \\
\dfrac{(-1)^{k-1}}{2}\left[1+(-1)^k\right]
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
(-1)^k \\
\dfrac{1}{2}\left[(-1)^{k-1}+(-1)^{2k-1}\right]
\end{bmatrix}
\]
假设该离散系统的采样时间为 1s，则由下列 MATLAB 命令仿真后可得系统在初始状态 \(\boldsymbol{x}(0)=\begin{bmatrix}1 & -1\end{bmatrix}^{\mathrm{T}}\) 条件下的零输入状态响应曲线如图 9-8 所示。
MATLAB 程序：exe919.m
A=[-1 0;1 1];c=eye(2);sys=ss(A,[],c,[],1);x0=[1;-1];t=0:1:10;initial(sys,x0,t)
9-20 已知连续时间系统的状态方程
(1) \(\dot{\boldsymbol{x}}(t) = \begin{bmatrix}0 & 1\\-6 & 5\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(t) + \begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}u(t)\)； (2) \(\dot{\boldsymbol{x}}(t) = \begin{bmatrix}0 & 1\\0 & -2\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(t) + \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}u(t)\)。
试求其相应的离散时间状态方程。
解 连续系统离散化后的状态空间表达式为
\[
\boldsymbol{x}(k+1) = \boldsymbol{\Phi}(T)\boldsymbol{x}(k) + \boldsymbol{G}(T)u(k)
\]
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