题海 · pdf-page · p.541
\[
\boldsymbol{T}^{-1}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{q} \\ \boldsymbol{qA} \\ \vdots \\ \boldsymbol{qA}^{n-1} \end{bmatrix}
\]
则
\[
\boldsymbol{k}=\boldsymbol{k}_c\boldsymbol{T}^{-1}=\begin{bmatrix} f_n-a_n & f_{n-1}-a_{n-1} & \cdots & f_1-a_1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} \boldsymbol{q} \\ \boldsymbol{qA} \\ \vdots \\ \boldsymbol{qA}^{n-1} \end{bmatrix}
\]
\[
=\boldsymbol{q}(f_n\boldsymbol{I}+f_{n-1}\boldsymbol{A}+\cdots+f_1\boldsymbol{A}^{n-1})-\boldsymbol{q}(a_n\boldsymbol{I}+a_{n-1}\boldsymbol{A}+\cdots+a_1\boldsymbol{A}^{n-1})
\]
\[
=\boldsymbol{q}f_k(\boldsymbol{\lambda})
\]
这表明,当取状态反馈增益向量\(\boldsymbol{k}=\boldsymbol{q}f_k(\boldsymbol{A})\)时,闭环系统的特征多项式为
\[
f_k(\lambda)=\lambda^n+(a_n+a_n^*)\lambda^{n-1}+\cdots+(a_1+a_1^*)=\lambda^n+f_1\lambda^{n-1}+\cdots+f_n
\]
9-60 设渐近稳定的单输入-单输出线性定常系统为
\[
\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{Ax}+\boldsymbol{b}u,\quad y=\boldsymbol{cx},\quad \boldsymbol{x}(0)=\boldsymbol{x}_0
\]
其中\(u(t)\equiv 0\),\(\boldsymbol{P}\)是满足李雅普诺夫方程\(\boldsymbol{PA}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}=-\boldsymbol{c}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{c}\)的正定对称矩阵。试证明:
\[
\int_0^{\infty} y^2(t)\,\mathrm{d}t=\boldsymbol{x}_0^{\mathrm{T}}\boldsymbol{Px}_0 。
\]
证明 由于\(\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{Ax}\),\(y=\boldsymbol{cx}\),因此
\[
\int_0^{\infty} y^2(t)\,\mathrm{d}t=\int_0^{\infty}(\boldsymbol{cx})^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{cx})\,\mathrm{d}t=\int_0^{\infty}(\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{c}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{cx})\,\mathrm{d}t
\]
\[
\frac{\mathrm{d}(\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{Px})}{\mathrm{d}t}=\dot{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{Px}+\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}+\boldsymbol{PA})\boldsymbol{x}=-\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{c}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{cx}
\]
故
\[
-\int_0^{\infty}\mathrm{d}(\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{Px})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{Px}(t)\Big|_{\infty}^{0}=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(t_0)\boldsymbol{Px}(t_0)-\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(\infty)\boldsymbol{Px}(\infty)
\]
由于系统渐近稳定,有\(\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(\infty)=0\),所以\(\displaystyle\int_0^{\infty} y^2(t)\,\mathrm{d}t=\boldsymbol{x}_0^{\mathrm{T}}\boldsymbol{Px}_0\)成立。
9-61 已知可控线性定常系统的状态方程为\(\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{Ax}+\boldsymbol{Bu}\),选取\(\boldsymbol{u}=-\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{W}^{-1}(T)\boldsymbol{x}\),其中\(\displaystyle\boldsymbol{W}(T)=\int_0^T \mathrm{e}^{-\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{BB}^{\mathrm{T}}\mathrm{e}^{-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}t}\,\mathrm{d}t\),\(T>0\)。试证明:所构成的闭环系统是渐近稳定的。
证明 将\(\boldsymbol{u}=-\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{W}^{-1}(T)\boldsymbol{x}\)代入状态方程可得\(\dot{\boldsymbol{x}}=[\boldsymbol{A}-\boldsymbol{BB}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{W}^{-1}(T)]\boldsymbol{x}=\bar{\boldsymbol{A}}\boldsymbol{x}\)。注意到\(\displaystyle\boldsymbol{W}(T)=\boldsymbol{W}^{\mathrm{T}}=\int_0^T \mathrm{e}^{-\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{BB}^{\mathrm{T}}\mathrm{e}^{-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}t}\,\mathrm{d}t\)显然是非负定的,同时若\(\{\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\}\)可控,则\(\boldsymbol{W}(T)\)正定。定义李雅普诺夫函数为\(V(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{W}^{-1}(T)\boldsymbol{x}\),则
\[
\dot{V}(\boldsymbol{x})=\dot{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{W}^{-1}(T)\boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{W}^{-1}(T)\dot{\boldsymbol{x}}
\]
\[
=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{W}^{-1}(T)\{[\boldsymbol{A}-\boldsymbol{BB}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{W}^{-1}(T)]\boldsymbol{W}(T)+\boldsymbol{W}(T)[\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}-\boldsymbol{W}^{-\mathrm{T}}(T)\boldsymbol{BB}^{\mathrm{T}}]\}\boldsymbol{W}^{-1}(T)\boldsymbol{x}
\]
\[
=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{W}^{-1}(T)[\boldsymbol{AW}(T)+\boldsymbol{W}(T)\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}-2\boldsymbol{BB}^{\mathrm{T}}]\boldsymbol{W}^{-1}(T)\boldsymbol{x}
\]
\[
=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{W}^{-1}(T)\left[-\int_0^T \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathrm{e}^{-\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{BB}^{\mathrm{T}}\mathrm{e}^{-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}t})\,\mathrm{d}t-2\boldsymbol{BB}^{\mathrm{T}}\right]\boldsymbol{W}^{-1}(T)\boldsymbol{x}
\]
\[
=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{W}^{-1}(T)[-\mathrm{e}^{-\boldsymbol{A}T}\boldsymbol{BB}^{\mathrm{T}}\mathrm{e}^{-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}T}+\boldsymbol{BB}^{\mathrm{T}}-2\boldsymbol{BB}^{\mathrm{T}}]\boldsymbol{W}^{-1}(T)\boldsymbol{x}
\]
\[
=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{W}^{-1}(T)[-\mathrm{e}^{-\boldsymbol{A}T}\boldsymbol{BB}^{\mathrm{T}}\mathrm{e}^{-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}T}-\boldsymbol{BB}^{\mathrm{T}}]\boldsymbol{W}^{-1}(T)\boldsymbol{x}
\]
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