四.（10分）已知单位反馈系统的开环传递函数为 \(G(s) = \dfrac{10}{s(2s+1)(4s+1)}\)

(1) 画出系统的开环乃氏特性曲线，做出增补曲线；

(2) 用乃氏特稳定判据，判断闭环系统的稳定性。

解：① \(G(j\omega) = \dfrac{10}{j\omega(1+2j\omega)(1+4j\omega)} = \dfrac{10(1-2j\omega)(1-4j\omega)}{j\omega(1+4\omega^2)(1+16\omega^2)}\)

\(= \dfrac{10(1-8\omega^2)-60j\omega}{j\omega(1+4\omega^2)(1+16\omega^2)} = \dfrac{-10j(1-8\omega^2)-60\omega}{\omega(1+4\omega^2)(1+16\omega^2)}\)

令虚部 \(=0\)：\(1-8\omega^2=0\)，\(\omega^2=\dfrac{1}{8}\)，\(\omega=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)

与实轴交点：\(\dfrac{-60\omega}{\omega(1+4\omega^2)(1+16\omega^2)} = \dfrac{-60}{(1+\frac{1}{2})(1+2)} = -\dfrac{40}{3} = -13.3\)

纯虚数轴处：\(-90°\)，终点：极限 \(0\)，相角 \(-270°\)

② \(P=0\)，\(R=-1\)

\(Z=P-2R=0-2\times(-1)=2\neq0\)

系统不稳定

五.（13分）某单位负反馈系统的开环传递函数为 \(G(s) = \dfrac{K(s+2)}{s(s+1)}\)

(1) 绘制 \(K>0\) 时的根轨迹；

(2) 在图上画出最小阻尼比对应的闭环极点；

(3) 计算阶跃响应有超调的 K 值范围。

解：① \(n=2\)，\(m=1\)

② \(P_1=0\)，\(P_2=-1\)，\(Z=-2\)

③ 实轴上 \((-\infty,-2)\)，\((-1,0)\) 有区根迹

即所示曲线：\(0<K<\dfrac{5+\sqrt{2}}{2}=7/2\)