第08讲　第四章根轨迹·三道例题精讲

上一讲把第四章的"法则"讲完了（八条绘制法则、根轨迹方程、0°/180° 的区分）。 这一讲不再讲新理论，而是把法则用起来——三道典型大题，把"主导极点"和"偶极子"两个上一章的老概念也一起串进来。 这一讲不好啃：它默认你已经会八条法则了。如果你连"实轴上根轨迹怎么定"都还发怵，先回上一讲。本讲的重点不是背法则，而是看懂一道题里这些法则是按什么顺序、为什么被调用的。

0. 先给你一张"做题时脑子里的流程"

零基础最大的障碍不是某一条公式，而是拿到一道根轨迹题不知道先干什么、后干什么。老师讲的三道题，其实都在走同一条流水线，先把这条线刻进脑子，后面每道题都是往这条线上填内容：

第0步 化标准形式：把 G(s)H(s) 写成"零极点形式"，参变量是根轨迹增益 k*
第1步 数零极点：几个开环极点(n)？几个开环零点(m)？→ 定分支数、几条奔向无穷
第2步 实轴段：右侧零极点个数为奇 → 该段有根轨迹（这是 180° 的判据）
第3步 渐近线：n-m 条奔无穷，算交点 σa、夹角 θk
第4步 分离/汇合点：两极点间必有分离点，两零点间必有汇合点
第5步 与虚轴交点：劳斯判据（全零行）或 s=jω 代入，顺带得到临界 k*
第6步 起始角/终止角（有复数零极点时才需要）
（画完图）第二问：结合阻尼、振荡、稳定、主导极点、偶极子做定量分析

【难点·全局】难在哪：这七步不是每道题都全用，每道题会挑其中几步，而且第二问千变万化（求稳定 k 范围 / 求最大振荡的阻尼比 / 判能否降阶）。为什么难：法则是死的，"这道题该调哪几条"是活的，需要看零极点分布预判图形长什么样。正确理解：先画草图（靠零极点分布 + 实轴段 + 渐近线）猜出大形状，再用精确法则把关键点（分离点、虚轴交点）算准。本校考情明确：大题第二问几乎必然结合阻尼比/振荡/稳定去求参（据 26北方工业考点分析 p005），所以第二问才是拉分点。

【你可能会以为】画根轨迹就是"把图画出来给分"。但其实本校（以及绝大多数学校）按点给分、按规则给分——你每写对一条法则、每算对一个关键点（渐近线交点、分离点、虚轴交点、临界增益）都是分。老师原话："我们不提倡只给图形不讲规则，必须一个规则对应一步画法。"因为光有一张图，判卷老师无法判断你是蒙的还是算的。

1. 例题一：三极点系统 —— 主导极点法估算暂态性能

1.1 题目

已知单位反馈系统开环传递函数（三个实极点、无零点）：

（1）绘制根轨迹；（2）证明 \(s=-2.34\) 是非主导极点，并据主导极点估算超调量 \(\sigma\%\) 与调节时间 \(t_s\)。

说明：老师口述的原始题给的是含 \((0.5s+1)\) 的时间常数形式，第0步化成上面这个零极点形式。\(0.5s+1=0.5(s+2)\)，提出 0.5 后系统增益 \(K\) 与根轨迹增益 \(k^*\) 之间会差一个常数因子（\(k^*=2K\) 一类关系）。做根轨迹题一律先化成以 \(k^*\) 为参变量、首一多项式的零极点形式，否则渐近线、根之和这些公式都会算错。这一步 PPT 幻灯片18 用的正是这个 \(\frac{k^*}{s(s+1)(s+2)}\) 例子。

1.2 第一问：一步一步画

第1步 数零极点。 三个开环极点 \(p_1=0,\ p_2=-1,\ p_3=-2\)，零点个数 \(m=0\)。所以 \(n=3,m=0\)，\(n-m=3\)：三条根轨迹全部奔向无穷远（法则1：起于极点、终于零点；没有有限零点，就都去无穷）。

第2步 实轴上的根轨迹段。 判据（180°）：实轴上某段，其右侧的开环零极点总数为奇数，则该段是根轨迹。

• \([-1,0]\) 段：右侧只有 \(p_1=0\)，1 个，奇数 → 是根轨迹。
• \([-2,-\infty)\) 段：右侧有 \(0,-1\) 两……不对，取 \(-2\) 左边某点，右侧有 \(0,-1,-2\) 三个，奇数 → 是根轨迹。
• \([-2,-1]\) 段：右侧有 \(0,-1\) 两个，偶数 → 不是。

所以实轴根轨迹是 \([-1,0]\) 与 \((-\infty,-2]\) 两段。

【难点】难在哪：很多人把"右侧个数"数错，尤其忘了零极点是否含端点、以及复数极点不算进"实轴右侧计数"。为什么难：这条判据来自相角方程——实轴上一点，它左边的零极点对它张的角是 \(0°\)（不贡献），右边的每个张 \(180°\)，只有右边总数为奇才能凑出 \((2k+1)\cdot180°\)。正确理解：只数在这一点正右方实轴上的零极点，一个极点或一个零点都记 1。

第3步 渐近线。 三条奔无穷，就有三条渐近线。一条直线要"一个点 + 一个角"确定：

• 交点（都在实轴上）： $\(\sigma_a=\frac{\sum p_j-\sum z_i}{n-m}=\frac{(0-1-2)-0}{3}=\frac{-3}{3}=-1\)$
• 夹角（180° 根轨迹）： $\(\theta_k=\frac{(2k+1)\pi}{n-m}=\frac{(2k+1)\pi}{3},\quad k=0,1,2\)$ 即 \(60°,\ 180°,\ -60°\)（\(k=1\) 给 \(180°\)，正好落在负实轴）。

三条渐近线把 s 平面从 \(-1\) 点均分成三个 \(120°\) 区。其中 \(180°\) 那条与实轴 \((-\infty,-2]\) 段重合——所以有一条根轨迹已经确定（沿负实轴跑向无穷），剩下要定的是另外两条。

第4步 分离点。 因为 \([-1,0]\) 之间，\(s=0\) 和 \(s=-1\) 两个都是起点（极点），两条根轨迹从两头对着走，必然在中间"顶"到一起再分岔进复平面——两极点间必有分离点（法则5）。求分离点两种等价方法：

• 方法A：把特征方程写成 \(k^*=-\dfrac{A(s)}{B(s)}\)，令 \(\dfrac{dk^*}{ds}=0\)。
• 方法B（常用）：分离点 \(d\) 满足 $\(\sum_{i=1}^{m}\frac{1}{d-z_i}=\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{d-p_j}\)$ 本题无零点，左边为 0： $\(\frac{1}{d}+\frac{1}{d+1}+\frac{1}{d+2}=0\)$

解得 \(d=-0.42\) 或 \(d=-1.58\)。必须验证：\(d=-1.58\) 落在 \([-2,-1]\)，那里根本没有根轨迹，舍去；取 \(d=-0.42\)（在 \([-1,0]\) 内，成立）。

【难点】难在哪：两个原因——(1) 上面这个方程手算是个二次方程（通分后 \(3s^2+6s+2=0\)），现在不许用计算器（据本校考情 p005），要会手开根号；(2) 求出来两个根必须回代判断哪个在根轨迹上，漏掉验证是常见失分点。为什么方法B成立：分离点是特征方程的重根，重根处 \(k^*\) 对 \(s\) 取极值（\(dk^*/ds=0\)），两种方法本质同一件事，化简后结果完全一样。

【你可能会以为】分离点就是两极点的中点 \(-0.5\)。但其实是 \(-0.42\)，偏向靠得近/斥力弱的一侧。因为分离点由"到各极点的斥力平衡"决定（就是那个求和方程），不是几何中点。零极点分布不对称，分离点就偏。

分离角。 两条根轨迹在分离点分开，分离角是 \(\pm90°\)（垂直于实轴离开）。之后两条沿着 \(\pm60°\) 渐近线奔向无穷。

第5步 与虚轴的交点（顺带得临界增益）。 闭环特征方程： $\(D(s)=s^3+3s^2+2s+k^*=0\)$ 列劳斯表：

当 \(k^*=6\) 时 \(s^1\) 行全零——出现纯虚根。用上一行 \(s^2\) 构造辅助方程 \(3s^2+k^*=3s^2+6=0\)，解得 \(s=\pm j\sqrt{2}\approx\pm j1.414\)。

所以根轨迹在 \(\pm j\sqrt2\) 处穿过虚轴，对应 \(k^*=6\)。

【难点·串联到第三章】为什么"全零行"就意味着与虚轴相交？回忆第三章劳斯判据：某行全零 ⟺ 特征方程有一对大小相等、符号相反的根（\(s=\pm j\omega\)，即一对纯虚根）。纯虚根就在虚轴上，就是根轨迹穿越虚轴的点。而这个 \(k^*=6\) 就是使系统稳定的 \(k^*\) 上限——\(k^*>6\) 时那对根进入右半平面，系统失稳。这正是本校爱考的"求使系统稳定的 \(k^*\) 范围"（\(0<k^*<6\)）。

到此第一问图画完：三条根轨迹分别起于 \(0,-1,-2\)；\([-1,0]\) 那对在 \(-0.42\) 分离进复平面，穿虚轴于 \(\pm j\sqrt2\)（\(k^*=6\)）后奔 \(\pm60°\) 渐近线；第三条沿负实轴奔无穷。

1.3 第二问：主导极点法估暂态性能（本讲真正的难点）

要证 \(s_1=-2.34\)（在 \((-\infty,-2]\) 那条实轴根轨迹上）是非主导极点，并用真正的主导极点估性能。

用到法则8（根之和）。 当 \(n-m\ge2\) 时，闭环 \(n\) 个根之和 = 开环 \(n\) 个极点之和 = 常数（与 \(k^*\) 无关）。这里 \(n-m=3\ge2\)，成立： $\(s_1+s_2+s_3=\sum p_j=-\frac{a_1}{a_0}=-\frac{3}{1}=-3\)$

已知 \(s_1=-2.34\)，另两个根 \(s_2,s_3\) 落在奔复平面的那对根轨迹上，是共轭复根 \(\sigma\pm j\omega\)。于是： $\(-2.34+2\sigma=-3\ \Rightarrow\ 2\sigma=-0.66\ \Rightarrow\ \sigma=-0.33\)$

再用根之积（法则9）配合共轭关系定 \(\omega\)（老师这里联立"根之和 + 根之积 + 两根共轭"三个条件），得 $\(s_{2,3}=-0.33\pm j0.59\)$

判主导。 主导极点 = 离虚轴最近（实部绝对值最小）的那对（一般是复数极点），它衰减最慢、主宰响应波形。 - \(s_1=-2.34\)：离虚轴 \(2.34\)。 - \(s_{2,3}=-0.33\pm j0.59\)：离虚轴 \(0.33\)。

\(2.34\) 是 \(0.33\) 的 7 倍多（老师说"5 倍还多"，实际约 7 倍，判据是≥5 倍）。所以 \(-2.34\) 衰减得远比那对复根快，早早消失 → 它是非主导极点，而 \(-0.33\pm j0.59\) 是主导极点。证毕。

【难点】难在哪：三点——(1) 用根之和/根之积反求未知根，这两条法则平时画图用得少，容易忘；(2) "离虚轴最近"这个判据要和第三章"主导极点"定义对上；(3) 5 倍这个工程门槛要记牢。为什么用根之和能反求：因为 \(n-m\ge2\) 时根之和恒等于极点之和，是一个"守恒量"，已知一个根就能约束另外两个。正确理解：根之和给一个方程，共轭给一个约束，根之积给第二个方程，三个条件定三个未知量（\(\sigma,\omega\) 及隐含的 \(k^*\)）。

降阶估性能。 既然 \(-0.33\pm j0.59\) 主导，就把三阶系统近似成由这对极点确定的二阶欠阻尼系统。由 \(s_{2,3}=-\zeta\omega_n\pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\) 对应： $\(\zeta\omega_n=0.33,\qquad \omega_n=\sqrt{0.33^2+0.59^2}=\sqrt{0.457}=0.676\)$ $\(\zeta=\frac{0.33}{0.676}\approx0.49\)$

【存疑·数字】字幕把 \(\zeta\) 念成 "0.448"，但按上面几何关系应为 \(0.33/0.676\approx0.488\)；且下面算出的超调 \(17.3\%\) 只有在 \(\zeta\approx0.49\) 时才成立（见验算），故取 \(\zeta\approx0.49\)，字幕的 0.448 判为 ASR 口误。

超调量（第三章二阶欠阻尼公式）： $\(\sigma\%=e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%=e^{-0.49\pi/\sqrt{1-0.49^2}}\times100\%\approx17.3\%\)$

调节时间（\(\pm5\%\) 误差带）： $\(t_s=\frac{3.5}{\zeta\omega_n}=\frac{3.5}{0.33}\approx10.6\ \text{s}\)$

【你可能会以为】高阶系统很复杂，暂态指标只能仿真。但其实只要存在一对主导极点，就能降成二阶、套第三章的 \(\sigma\%\) 和 \(t_s\) 公式。因为非主导极点衰减快、贡献早已消失，波形由主导极点主宰。这就是"主导极点法"的全部意义——把第四章的根轨迹和第三章的二阶暂态指标接起来。

【难点·公式版本别记混】\(t_s\) 的分子：\(\pm5\%\) 误差带用 \(3.5/(\zeta\omega_n)\)，\(\pm2\%\) 用 \(4.4/(\zeta\omega_n)\)（胡寿松教材口径，有的教材写 3 和 4）。本题老师用 \(\pm5\%\) → \(3.5\)。考试务必看清题目要求哪个误差带。

2. 例题二：二阶带零点系统 —— 判"根轨迹是圆" + 最大振荡

2.1 题目

单位负反馈，开环传递函数： $\(G(s)H(s)=\frac{k^*(s+3)}{s(s+2)}\)$ （1）绘根轨迹；（2）求系统取得最大振荡响应时的阻尼比与增益；（3）求 \(k=2\) 时的单位阶跃响应。

极零点：极点 \(p_1=0,\ p_2=-2\)；零点 \(z_1=-3\)。\(n=2,m=1\)。

2.2 为什么"一眼看出是圆"

【难点·本校固定题型】据本校考情（p005）："如何判断根轨迹是圆，这是个固定题型。" 所以这一条必须掌握。

直觉先行：两个极点 \(0,-2\) 相邻，两个"零点"也相邻——一个有限零点在 \(-3\)，另一个零点在无穷远（\(m<n\) 时缺的零点在无穷）。当一对极点之间有根轨迹、且附近有有限零点时，复平面上的根轨迹往往是以有限零点为圆心的圆（或圆弧）：两极点间先分离进复平面，走一段圆弧，一支落回有限零点 \(-3\)，另一支沿圆弧奔无穷。

但直觉不算证明，必须用相角条件证。 设复平面上根轨迹的点 \(s=\sigma+j\omega\)，它必满足 180° 相角方程： $\(\angle(s-z_1)-\angle(s-p_1)-\angle(s-p_2)=\pm180°\)$ 即 $\(\arctan\frac{\omega}{\sigma+3}-\arctan\frac{\omega}{\sigma}-\arctan\frac{\omega}{\sigma+2}=-180°\)$ 两边取正切、整理，得到 \(\sigma,\omega\) 的关系式，化简后是一个圆方程： $\(\text{圆心 }(-3,0),\quad \text{半径 }r=\sqrt3\approx1.73\)$ 圆心正好是有限零点 \(-3\)。

【你可能会以为】用模值条件也能证是圆。但其实不行/很难。因为模值方程里带着参变量 \(k^*\)，\(k^*\) 难消去，凑不出纯粹的 \(\sigma,\omega\) 圆方程；而相角方程里没有 \(k^*\)（相角只由零极点几何决定），所以证形状用相角条件，求增益才用模值条件——这俩的分工要记死。

分离/汇合点验证。 用 \(\sum\frac{1}{d-z}=\sum\frac{1}{d-p}\)： $\(\frac{1}{d+3}=\frac{1}{d}+\frac{1}{d+2}\)$ 解得 \(d=-1.27\) 和 \(d=-4.73\)，恰好 \(=-3\pm\sqrt3\)——落在圆上，与"圆心 \(-3\)、半径 \(\sqrt3\)"完全自洽。\(-1.27\) 在 \([-2,0]\) 是分离点，\(-4.73\) 在 \((-\infty,-3]\) 是汇合点。

2.3 第二问：最大振荡 → 最小阻尼比（几何法）

读懂题意（这是本题最大的坎）。 "最大振荡响应" = 超调量 \(\sigma\%\) 取最大。第三章告诉我们 \(\sigma\%\) 只随 \(\zeta\) 单调变化，\(\zeta\) 越小 \(\sigma\%\) 越大。所以最大振荡 ⟺ 阻尼比 \(\zeta\) 取最小。

几何求 \(\zeta_{\min}\)。 关键关系：\(\zeta=\cos\beta\)，其中 \(\beta\) 是闭环极点到原点的连线与负实轴的夹角（阻尼角）。要 \(\zeta\) 最小 → \(\beta\) 最大。极点必须在根轨迹（那个圆）上，所以"\(\beta\) 最大"就是从原点向圆作切线，切点对应的 \(\beta\) 最大。

在这个圆里：原点到圆心 \((-3,0)\) 距离 \(=3\)，半径 \(=\sqrt3\)。切线、半径、圆心连线构成直角三角形： $\(\sin\beta=\frac{r}{3}=\frac{\sqrt3}{3}\ \Rightarrow\ \cos\beta=\sqrt{1-\tfrac13}=\frac{\sqrt6}{3}\approx0.816\)$ $\(\boxed{\zeta_{\min}=\cos\beta=\frac{\sqrt6}{3}\approx0.816}\)$

求对应增益 \(k\)（用模值条件）。 切点坐标可由几何算出，代入模值方程 $\(k^*\cdot\frac{|s-z_1|}{|s-p_1||s-p_2|}=1\)$ 解得系统增益 \(k=2\)。

【难点】难在哪：(1) "最大振荡"到"最小阻尼比"这层翻译，题面不会明说，考的就是你懂不懂概念链；(2) \(\zeta=\cos\beta\) 的 \(\beta\) 定义（到原点连线与负实轴夹角，不是别的角）；(3) 作切线这一步是纯几何。为什么 \(\zeta=\cos\beta\)：二阶极点 \(s=-\zeta\omega_n\pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\)，它到原点连线与负实轴夹角 \(\beta\) 满足 \(\cos\beta=\zeta\omega_n/\omega_n=\zeta\)。这是第三章"等阻尼线是过原点的射线"的直接来源（PPT 幻灯片50：过原点作等阻尼线与根轨迹交点即闭环极点）。

2.4 第三问：\(k=2\) 的单位阶跃响应

\(k=2\) 时 \(G(s)=\dfrac{2(s+3)}{s(s+2)}\)。单位负反馈闭环： $\(\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}\)$ 输出的拉氏变换 \(C(s)=\Phi(s)\cdot R(s)\)，阶跃 \(R(s)=\dfrac1s\)，再对 \(C(s)\) 做拉氏反变换得 \(c(t)\)。（这一步就是第三章的活，老师留作练习，不展开——但你要能独立算完，别停在这。）

【串联到前几讲】这一问把根轨迹（定 \(k\)）→ 闭环传函 → 拉氏反变换求时域响应整条链子走了一遍，正是第二、三、四章的合流。本校考情 T5 原话之一就是"绘制根轨迹并求参（单位阶跃响应为振荡收敛）"，说明这类"画完图再回去求时域响应"的复合题真会考。

3. 例题三：三极一零系统 —— 偶极子降阶

3.1 题目

单位反馈： $\(G(s)H(s)=\frac{k^*(s+1)}{s(s+2)(s+3)}\)$ （1）绘根轨迹；（2）已知一个闭环极点 \(s=-0.9\)，求另两个闭环极点；（3）该三阶系统能否用低阶系统近似？能则给出降阶后的闭环传函，不能则说明理由。

极点 \(0,-2,-3\)；零点 \(-1\)。\(n=3,m=1\)，\(n-m=2\)。

3.2 第一问（快速走流程）

• 实轴段：\([-1,0]\)（右侧 1 个极点，奇）——两端一个是极点一个是零点，这一段自身就是一条完整根轨迹（起于 \(0\)、止于 \(-1\)）；\([-3,-2]\)（右侧 3 个，奇）。
• \([-3,-2]\) 两端都是极点 → 中间有分离点，用 \(\frac{1}{d+1}=\frac1d+\frac{1}{d+2}+\frac{1}{d+3}\) 解出（在该段内）。
• 渐近线：\(n-m=2\)，\(\sigma_a=\dfrac{(0-2-3)-(-1)}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2\)，夹角 \(\theta=\dfrac{(2k+1)\pi}{2}=\pm90°\)。两条奔无穷的根轨迹从 \([-3,-2]\) 分离后，一条向上一条向下沿 \(\pm90°\) 走。

3.3 第二问：已知一个闭环极点，反求另两个（模值条件）

先求 \(k^*\)：\(s=-0.9\) 是闭环极点 ⟺ 满足闭环特征方程 ⟺ 满足模值条件。代入 $\(k^*=\frac{|s||s+2||s+3|}{|s+1|}\bigg|_{s=-0.9}=\frac{0.9\times1.1\times2.1}{0.1}=20.79\)$

【难点·数字易错】老师字幕念成 "2079"，正确是 \(k^*=20.79\)（分母 \(|s+1|=|-0.9+1|=0.1\) 很小，把结果放大了 20 倍）。别漏那个 \(/0.1\)，否则后面全崩。

再分解特征方程。 闭环特征方程： $\(s(s+2)(s+3)+20.79(s+1)=0\ \Rightarrow\ s^3+5s^2+26.79s+20.79=0\)$ 已知含因子 \((s+0.9)\)，做多项式除法： $\(s^3+5s^2+26.79s+20.79=(s+0.9)(s^2+4.1s+23.1)\)$ 解 \(s^2+4.1s+23.1=0\)： $\(s_{2,3}=\frac{-4.1\pm\sqrt{4.1^2-4\times23.1}}{2}=-2.05\pm j4.35\)$

（验算配系数：\((s+0.9)(s^2+4.1s+23.1)\) 的 \(s^1\) 项 \(=23.1+0.9\times4.1=26.79\) ✓，常数项 \(=0.9\times23.1=20.79\) ✓。这个自检一定要做，尤其现在不许用计算器。）

3.4 第三问：偶极子 → 能否降阶（本题灵魂）

先把两个新概念对上： - 单位反馈时，开环零点 = 闭环零点。所以本系统有一个闭环零点 \(z=-1\)。 - 闭环极点里有一个 \(s=-0.9\)。

\(-0.9\)（极点）和 \(-1\)（零点）挨得极近（间距 0.1）——这叫一对闭环偶极子（一个零点一个极点靠得很近，几乎重合）。

偶极子的作用：相互抵消。 传递函数里 \(\dfrac{s+1}{s+0.9}\) 这一对因子约等于 1，对响应几乎没影响，可以一起划掉。划掉后系统从三阶降为二阶，只剩那对 \(s_{2,3}=-2.05\pm j4.35\)。

为什么能降阶（严谨判据）： 主导极点 \(-2.05\pm j4.35\) 离虚轴 \(2.05\)；偶极子里那个极点 \(-0.9\) 虽然离虚轴只有 \(0.9\)（本来该是它主导！），但它和零点 \(-1\) 的间距 0.1 远小于它到主导极点的距离，零点把它的作用抵消掉了。所以它不构成主导，系统由 \(-2.05\pm j4.35\) 主导，可降为二阶： $\(\text{降阶后闭环特征多项式}=s^2+4.1s+23.1\)$

【难点】难在哪：偶极子和主导极点判据方向相反，容易打架。\(-0.9\) 离虚轴最近，按"最近即主导"它本该主导；但它被近旁零点抵消，反而不主导。为什么：主导性看的是"这个极点的留数（对响应的加权）大不大"，而极点旁边有个近零点时，留数被压到近乎 0——偶极子间距越小，抵消越彻底。正确理解：判主导不能只看"离虚轴远近"，还要看附近有没有零点来抵消。这正是第三题区别于第一题的地方——第一题靠"5 倍距离"判主导，第三题靠"偶极子抵消"判可降阶。

【你可能会以为】"离虚轴最近的极点一定主导系统"。但其实若它旁边紧贴一个闭环零点（偶极子），它就被抵消、不主导。因为主导与否取决于该极点在部分分式展开里的系数（留数），近零点会把这个系数压没。

【串联·对照】三道题把上一章两个概念都用了一遍：例题一用主导极点法（靠距离比 ≥5 判非主导）估暂态；例题三用偶极子（靠零极点近乎重合相消）判降阶。两者都在回答同一个问题——"高阶系统能不能当低阶算"，但机理不同，别混。

4. 这一讲的骨架（真正要带走的）

1. 根轨迹大题有固定流水线：化标准形式 → 数零极点 → 实轴段 → 渐近线 → 分离/汇合点 → 虚轴交点（→起始角）→ 第二问定量分析。按点给分，规则写全才拿满分。
2. 例题一（主导极点法）：\(n-m\ge2\) 用根之和 = 极点之和反求根；离虚轴最近的复极点是主导极点（距离比 ≥5 判非主导）；降成二阶套第三章 \(\sigma\%,\ t_s\) 公式。
3. 例题二（判圆 + 最大振荡）：证形状用相角条件（无 \(k^*\)），求增益用模值条件；圆心在有限零点、半径由相角方程定；"最大振荡 = 最小阻尼比 = 从原点向圆作切线"，\(\zeta=\cos\beta\)。
4. 例题三（偶极子降阶）：单位反馈时开环零点 = 闭环零点；闭环极点与闭环零点靠得极近 = 偶极子，可相互抵消从而降阶；偶极子会推翻"最近即主导"的直觉。
5. 两条判"能否当低阶算"的机理不同：主导极点（距离碾压）vs 偶极子（近零点抵消）。

5. 自测（戳穿假懂版）

Q1. 给你 \(G(s)H(s)=\dfrac{k^*}{s(s+1)(s+2)}\)，问实轴上 \([-2,-1]\) 这一段是不是根轨迹？为什么？ - 要点：不是。取该段内一点，右侧有 \(0,-1\) 共 2 个（偶数），不满足"右侧奇数"判据。 - 答错说明：你在死记"极点之间就是根轨迹"，没真用相角判据去数右侧个数。

Q2. 例题一里，为什么能断定 \(-0.33\pm j0.59\) 是主导极点而 \(-2.34\) 不是？把判据说清楚。 - 要点：主导 = 离虚轴最近（衰减最慢）。\(0.33\) vs \(2.34\)，后者是前者 7 倍多（≥5 倍），\(-2.34\) 衰减快、早消失 → 非主导。 - 答错说明：只会背"主导极点"这个词，不知道判据是"离虚轴最近 + 与其它极点距离比 ≥5"。

Q3. 例题二问"最大振荡响应时的阻尼比"。请把"最大振荡"翻译成对 \(\zeta\) 的要求，并说明怎么在圆上找到它。 - 要点：最大振荡 = \(\sigma\%\) 最大 = \(\zeta\) 最小 = 阻尼角 \(\beta\) 最大 = 从原点向圆作切线，切点即该极点；\(\zeta=\cos\beta\)。 - 答错说明：卡在"最大振荡"不知道对应最小 \(\zeta\)，或不知道 \(\zeta=\cos\beta\)、\(\beta\) 是到原点连线与负实轴夹角。

Q4. 证明例题二的根轨迹是圆时，为什么用相角条件而不用模值条件？ - 要点：模值方程含参变量 \(k^*\)，难消去，凑不出纯 \(\sigma,\omega\) 的圆方程；相角方程只由零极点几何决定、不含 \(k^*\)，能直接整理成圆方程。 - 答错说明：没抓住"相角条件与 \(k^*\) 无关"这一分工。

Q5. 例题三中 \(-0.9\) 离虚轴只有 0.9，比主导极点 \(-2.05\) 更近，为什么它反而不是主导极点？ - 要点：它旁边紧贴闭环零点 \(-1\)（间距 0.1），构成偶极子，作用被零点抵消，留数近乎 0，故不主导。 - 答错说明：仍在用"最近即主导"，没意识到近旁零点会抵消——这正是偶极子的核心。

Q6. 例题三求 \(k^*\) 时，\(s=-0.9\) 代入模值条件，分母 \(|s+1|\) 等于多少？漏了它会怎样？ - 要点：\(|-0.9+1|=0.1\)；\(k^*=\dfrac{0.9\times1.1\times2.1}{0.1}=20.79\)。漏掉除以 0.1 会把 \(k^*\) 少算 20 倍，后面特征方程分解全错。 - 答错说明：把 \(20.79\) 记成 \(2.079\)（字幕口误陷阱），或忘了零点也进模值分母。

6. 知识地图

向前串（依赖什么）： - 第二章：开环/闭环传递函数、零极点。根轨迹方程 \(1+G(s)H(s)=0\) 就是闭环特征方程。 - 第三章：主导极点、二阶欠阻尼的 \(\sigma\%=e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}}\)、\(t_s=3.5/(\zeta\omega_n)\)（±5%）；劳斯判据（本讲"全零行 → 虚轴交点 → 临界 \(k^*\)"直接用它）；等阻尼线 \(\zeta=\cos\beta\)。

本讲内部（横向串）： - 八条法则不是孤立的，是一条流水线：数零极点 → 实轴段 → 渐近线 → 分离点 → 虚轴交点 → 起始角。 - 相角条件管形状（判圆、实轴段、渐近线夹角、起始/终止角），模值条件管增益（求 \(k^*\)）——这是全章的分水岭。 - 判"能否降为低阶"有两条路：主导极点（距离比 ≥5） 与 偶极子（近零点抵消）。

向后串（后面用它）： - 第五章 频域：根轨迹（复域看极点走向）与频域（Bode/Nyquist）是分析稳定性的两只眼；阻尼比 \(\zeta\) 会再次贯穿。 - 第六章 校正：PPT 4.4 节的"增加开环零点/极点/偶极子改变根轨迹"就是根轨迹校正法的基础——本讲的偶极子概念，到校正里变成"用偶极子改善稳态误差而几乎不动暂态"的设计手段（据考纲 p003：掌握串联校正的根轨迹法）。

考情锚点（据 26北方工业考点分析 p005/p008）： 根轨迹是必考大题；第二问几乎必然结合阻尼/振荡/稳定求参；"判根轨迹是否为圆"是固定题型；必须会判 0°/180°；已不许用计算器，手算分离点/开根号要练；T5 历年出现过"求参（等幅振荡）/求参（无超调）/单位阶跃响应为振荡收敛"等变体。本讲三道题正好覆盖这些考法。