考研参考题
8-30 设非线性系统结构图如图 8-90 所示，其中非线性环节的描述函数为 \(N=\dfrac{3}{4}e^{2}\angle 0°\)，试分析系统的稳定性。
图 8-90 非线性系统结构图
解 非线性环节的负倒描述函数为
\[-\frac{1}{N(A)}=-\frac{4}{3A^{2}}\]
线性部分频率特性为
\[G(\mathrm{j}\omega)=\frac{1}{\mathrm{j}\omega(\mathrm{j}\omega+1)(\mathrm{j}\omega+2)}=U(\omega)+\mathrm{j}V(\omega)\]
其中
\[U(\omega)=-\frac{3}{9\omega^{2}+(2-\omega^{2})^{2}}\]
\[V(\omega)=-\frac{2-\omega^{2}}{9\omega^{3}+\omega(2-\omega^{2})^{2}}\]
令 \(V(\omega)=0\)，得 \(G(\mathrm{j}\omega)\) 与负实轴交点处频率 \(\omega=\sqrt{2}\)。将 \(\omega=\sqrt{2}\) 代入 \(U(\omega)\)，得 \(G(\mathrm{j}\omega)\) 与负实轴交点处的幅值为 \(-1/6\)。
作 \(G(\mathrm{j}\omega)\) 与 \(-1/N(A)\) 曲线，如图 8-91 所示。由图知，\(G(\mathrm{j}\omega)\) 与 \(-1/N(A)\) 交点处频率为 \(\omega=\sqrt{2}\)，振幅由
\[-\frac{4}{3A^{2}}=-\frac{1}{6}\]
求出，即 \(A=2\sqrt{2}\)。因此，该非线性系统存在不稳定的周期运动，其频率为 \(\sqrt{2}\)，振幅为 \(2\sqrt{2}\)。
图 8-91 系统稳定性分析
8-31 非线性系统如图 8-92 所示，其中非线性特性的描述函数为
\[N(A)=\frac{4}{\pi A}\sqrt{1-\left(\frac{1}{A}\right)^{2}}-\mathrm{j}\frac{4}{\pi A^{2}},\quad A\geqslant 1\]
试用描述函数法判断系统是否发生自振(要求作图)。
解 描述函数
（下页续）
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