题海 · 讲义 · p.22

外,其余各项均为零。由此得到反演公式

\[ e(nT) = \frac{1}{2\pi \mathrm{j}} \oint_{\Gamma} E(z) z^{n-1} \mathrm{d}z \]

根据柯西留数定理,设函数 \(E(z)z^{n-1}\) 除有限极点 \(z_1,z_2,\cdots,z_k\) 外,在域 \(G\) 上是解析的。如果有闭合路径 \(\Gamma\) 包含了这些极点,则有

\[ e(nT) = \frac{1}{2\pi \mathrm{j}} \oint_{\Gamma} E(z) z^{n-1} \mathrm{d}z = \sum_{i=1}^{k} \mathrm{Res}[E(z)z^{n-1}]_{z \to z_i} \]

式中,\(\mathrm{Res}[E(z)z^{n-1}]_{z \to z_i}\) 表示函数 \(E(z)z^{n-1}\) 在极点 \(z_i\) 处的留数。因此,\(E(z)\) 对应的采样函数为

\[ e^*(t) = \sum_{n=0}^{\infty} e(nT)\delta(t-nT) \]

5. 关于 z 变换的说明

（1）z 变换的非唯一性

z 变换是对连续信号的采样序列进行变换,因此 z 变换与其原连续时间函数并非一一对应,而只是与采样序列相对应。

（2）z 变换的收敛区间

通常,z 变换定义为

\[ E(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e(nT) z^{-n} \]

称为双边 z 变换。由于 \(z=\mathrm{e}^{sT}\),令 \(s=\sigma+\mathrm{j}\omega\),则 \(z=\mathrm{e}^{\sigma T}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega T}\)。若令 \(r=|z|=\mathrm{e}^{\sigma T}\),则有

\[ z = r\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega T} \]

于是,双边 z 变换可以写为

\[ E(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e(nT) r^{-n} \mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega T} \]

显然,上述无穷级数收敛的条件是

\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty} |e(nT) r^{-n}| < \infty \]

若上式满足,则双边 z 变换一致收敛,即 \(e(nT)\) 的 z 变换存在。

在大多数工程问题中,因为 \(n<0\) 时,\(e(nT)=0\),所以 z 变换是单边的,其定义式为

\[ E(z) = \sum_{n=0}^{\infty} e(nT) z^{-n} \]

且 \(E(z)\) 为有理分式函数,因而 z 变换的收敛区间与 \(E(z)\) 的零极点分布有关。

由于大多数工程问题中的 z 变换都存在,因此对 z 变换的收敛区间不再特别指出。

1-3　矩阵代数初步

1. 矩阵代数

1）矩阵的加减法

如果矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 和 \(\boldsymbol{B}\) 具有相等数量的行和列,则 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 可以相加或相减。

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5. 关于 z 变换的说明

1-3 矩阵代数初步

1. 矩阵代数

1-3　矩阵代数初步