图 5-46 系统开环对数相频特性曲线
\[N = N_+ - N_- = -\frac{1}{2}\]
于是闭环极点位于 \(s\) 右半平面的个数为
\[Z = P - 2N = 0 - 2\times\left(-\frac{1}{2}\right) = 1\]
所以,系统闭环不稳定,有一个正实部闭环极点。
(2) 图 5-46(b)系统。
因为 \(v=4\),故需要在对数相频特性的低频段曲线向上补作 \(4\times90^\circ\) 的垂线。
在 \(\omega<\omega_c\) 的频段内,其对数相频曲线四次穿越 \((2k+1)\times180^\circ\)(\(k=0,-1\))线,其中两次为负穿越,两次为正穿越,故 \(N_-=2\),\(N_+=2\),则
\[N = N_+ - N_- = 0\]
于是闭环极点位于 \(s\) 右半平面的个数为
\[Z = P - 2N = 0 - 2\times 0 = 0\]
所以,系统闭环稳定。
5-28 已知系统为最小相位系统,其型次 \(v\geqslant0\),开环幅相特性曲线起始于实轴(\(\omega=0\)),试问什么情况下起始于负实轴,什么情况下起始于正实轴?
解 设系统的开环传递函数为
\[G(s) = \dfrac{K\displaystyle\prod_{j=1}^{m}(\tau_j s+1)}{s^v\displaystyle\prod_{i=1}^{n}(T_i s+1)},\quad m\leqslant n+v\]
则系统的开环频率特性为
\[G(\mathrm{j}\omega) = \dfrac{K\displaystyle\prod_{j=1}^{m}(\mathrm{j}\tau_j\omega+1)}{(\mathrm{j}\omega)^v\displaystyle\prod_{i=1}^{n}(\mathrm{j}T_i\omega+1)}\]
于是
\[\left|G(\mathrm{j}0_+)\right| = \lim_{\omega\to0_+}\left|\dfrac{K\displaystyle\prod_{j=1}^{m}(\mathrm{j}\tau_j\omega+1)}{(\mathrm{j}\omega)^v\displaystyle\prod_{i=1}^{n}(\mathrm{j}T_i\omega+1)}\right| = \lim_{\omega\to0_+}\dfrac{K}{\omega^v}\]
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