而 \(P=0\),于是闭环极点位于 \(s\) 右半平面的个数为
\[Z = P - 2N = 0 - 2\times(-1) = 2\]
所以,系统(9)闭环不稳定。
(10) 系统(10)的频率特性为
\[G(\mathrm{j}\omega) = \dfrac{5(1-\mathrm{j}0.5\omega)}{\mathrm{j}\omega(1+\mathrm{j}0.1\omega)(1-\mathrm{j}0.2\omega)}\]
则系统(10)的开环对数幅频和相频特性为
\[L(\omega) = 20\lg 5 + 10\lg[1+(0.5\omega)^2] - 20\lg\omega - 10\lg[1+(0.1\omega)^2] - 10\lg[1+(0.2\omega)^2]\]
\[\varphi(\omega) = -90^\circ - \arctan 0.5\omega - \arctan 0.1\omega + \arctan 0.2\omega\]
系统(10)的开环幅相特性为
\[G(\mathrm{j}\omega) = \dfrac{-5\omega(0.4+0.01\omega^2) - \mathrm{j}5(1+0.07\omega^2)}{\omega[1+(0.1\omega)^2][1+(0.2\omega)^2]}\]
系统(10)的开环对数频率特性图如图5-88所示;开环幅相特性图如图5-89所示。
图5-88 系统(10)开环对数频率特性图(MATLAB) 图5-89 系统(10)开环幅相特性图(MATLAB)
由图5-88可得:\(\gamma=32.5^\circ\),\(h(\mathrm{dB})\to\infty\mathrm{dB}\)。但一般来说,对于非最小相位系统,仅用\(\gamma\)或\(h\)不足以说明系统的稳定程度,而\(\gamma>0\)和\(h>0\)也不一定表明闭环系统必然稳定。
在图5-88中,因为\(\upsilon=1\),需要在对数相频特性的低频段曲线向上补作\(1\times 90^\circ\)的垂线。在\(L(\omega)>0\)的频段内,其对数相频曲线没有穿越\((2k+1)\times 180^\circ\)(\(k=-1\))线,则
\[N = N_+ - N_- = 0\]
而 \(P=1\),于是闭环极点位于\(s\)右半平面的个数为
图5-90 \(G(s)=\dfrac{5(1-0.5s)}{s(1+0.1s)(1-0.2s)}\)闭环系统单位阶跃响应曲线(MATLAB)
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