开环极点:\(-2,-1\pm j\),无零点
实轴上的根轨迹:\((-\infty,-2]\)
分离点:无分离点
渐近线:\(\sigma_a=\dfrac{-4}{3-0}=-\dfrac{4}{3},\varphi_a=\dfrac{(2k+1)\pi}{3-0}(k=0,1,2)\)
与虚轴的交点:\(s=j\omega,D(j\omega)=0\Rightarrow k=20,\omega=\pm\sqrt{6}\)
根轨迹如图:
(2)
由(1)知,\(0<k<20\)
(3)
加入比例微分环节之后,系统的闭环特征方程:
\[D(s)=s^3+4s^2+(6+k)s+4+ka\]
列劳斯表:
| \(s^3\) | \(1\) | \(6+k\) |
|---|---|---|
| \(s^2\) | \(4\) | \(4+ak\) |
| \(s^1\) | \(\dfrac{20+k(4-a)}{4}\) | |
| \(s^0\) | \(4+ak\) |
劳斯表第一列全为正\(\Rightarrow -\dfrac{4}{k}<a<\dfrac{20}{k}+4\)
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