考研851 自动控制原理
题海 · 题解 · p.547

与期望特征多项式相比,有

\[2-k_2=28.28\]
\[9-k_1=400\]

故满足控制效果的反馈增益向量为

\[\boldsymbol{k}=\begin{bmatrix}-391 & -26.28\end{bmatrix}\]

(2) 采用输出反馈的效果

\[\text{rank}\begin{bmatrix}c\\cA\end{bmatrix}=\text{rank}\begin{bmatrix}9 & 0\\0 & 9\end{bmatrix}=2\]

系统可观测。取控制律

\[u=ky+v\]

则闭环系统矩阵

\[\overline{\boldsymbol{A}}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{b}k\boldsymbol{c}=\begin{bmatrix}0 & 1\\9k-9 & -2\end{bmatrix}\]

闭环特征多项式为

\[|\lambda\boldsymbol{I}-\overline{\boldsymbol{A}}|=\lambda^2+2\lambda+(9-9k)\]

可见,无论 \(k\) 值如何选取,均无法实现上述效果。

9-69 试验证矩阵

\[\boldsymbol{\Phi}(t,0)=\begin{bmatrix}1 & \dfrac{1}{2}(1-e^{-2t})\\0 & e^{-2t}\end{bmatrix}\]

满足转移矩阵的三条性质。

解 不难验证,矩阵 \(\boldsymbol{\Phi}(t,0)\) 有如下三条性质:

(1) \(\boldsymbol{\Phi}(0,0)=\begin{bmatrix}1 & \dfrac{1}{2}(1-1)\\0 & 1\end{bmatrix}=\boldsymbol{I}\)

(2) \(\boldsymbol{\Phi}^{-1}(t,0)=\begin{bmatrix}1 & \dfrac{1}{2}(1-e^{-2t})\\0 & e^{-2t}\end{bmatrix}=e^{2t}\begin{bmatrix}e^{-2t} & -\dfrac{1}{2}(1-e^{-2t})\\0 & 1\end{bmatrix}\)

\[=\begin{bmatrix}1 & \dfrac{1}{2}(1-e^{2t})\\0 & e^{2t}\end{bmatrix}=\boldsymbol{\Phi}(-t,0)\]

(3) \(\boldsymbol{\Phi}(t_1+t_2,0)=\begin{bmatrix}1 & \dfrac{1}{2}(1-e^{-2t_1-2t_2})\\0 & e^{-2t_1-2t_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & \dfrac{1}{2}(1-e^{-2t_1})\\0 & e^{-2t_1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & \dfrac{1}{2}(1-e^{-2t_2})\\0 & e^{-2t_2}\end{bmatrix}\)

\[=\boldsymbol{\Phi}(t_1,0)\boldsymbol{\Phi}(t_2,0)\]

9-70 试判断下列系统的可控性与可观测性;系统中 \(a,b,c,d\) 的取值对可控性与可观测性是否有影响?讨论其取值条件。

(1) 系统如图9-17所示;

(2) 系统如下所示: