a 倍,相角裕度保持不变,问 \(K,T\) 应如何变化?
解 系统的开环频率特性为
\[G(\mathrm{j}\omega)=\frac{K}{\mathrm{j}\omega(1+\mathrm{j}T\omega)}=\frac{K}{\omega\sqrt{1+T^2\omega^2}}\angle -90°-\arctan T\omega\]
由截止频率和相角裕度的定义,可知
\[|G(\mathrm{j}\omega_c)|=\frac{K}{\omega_c\sqrt{1+T^2\omega_c^2}}=1\]
\[\gamma=180°+\varphi(\omega_c)=90°-\arctan T\omega_c\]
故若要求将截止频率 \(\omega_c\) 提高 \(a\) 倍,相角裕度 \(\gamma\) 保持不变,则 T将减小a倍,K将增大a倍。
5-41 典型二阶系统的开环传递函数 \(G(s)=\dfrac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta\omega_n)}\),若已知 \(10\%\leqslant\sigma\%\leqslant30\%\),试确定相角裕度 \(\gamma\) 的范围;若给定 \(\omega_n=10\),试确定系统的带宽 \(\omega_b\) 的范围。
解 对于典型二阶系统,其开环频率特性为
\[G(\mathrm{j}\omega)=\frac{\omega_n^2}{\mathrm{j}\omega(\mathrm{j}\omega+2\zeta\omega_n)}=\frac{\omega_n^2}{\omega\sqrt{(2\zeta\omega_n)^2+\omega^2}}\angle -90°-\arctan\frac{\omega}{2\zeta\omega_n}\]
由截止频率和相角裕度的定义,可知
\[|G(\mathrm{j}\omega_c)|=\frac{\omega_n^2}{\omega_c\sqrt{(2\zeta\omega_n)^2+\omega_c^2}}=1\]
解得
\[\omega_c=\omega_n\sqrt{\sqrt{1+4\zeta^4}-2\zeta^2}\]
而
\[\gamma=180°+\varphi(\omega_c)=90°-\arctan\frac{\omega_c}{2\zeta\omega_n}=\arctan\frac{2\zeta}{\sqrt{\sqrt{1+4\zeta^4}-2\zeta^2}}\]
若 \(10\%\leqslant\sigma\%\leqslant30\%\),即 \(10\%\leqslant e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\leqslant30\%\),解得
\[0.358\leqslant\zeta\leqslant0.591\]
从而
\[39.1°\leqslant\gamma\leqslant58.6°\]
典型二阶系统的闭环幅频特性为
\[|\Phi(\mathrm{j}\omega)|=\left|\frac{\omega_n^2}{(\omega_n^2-\omega^2)+\mathrm{j}2\zeta\omega_n\omega}\right|=\frac{\omega_n^2}{\sqrt{(2\zeta\omega_n\omega)^2+(\omega_n^2-\omega^2)^2}}\]
由带宽频率的定义可知
\[|\Phi(\mathrm{j}\omega_b)|=\frac{\sqrt{2}}{2}|\Phi(\mathrm{j}0)|\]
即
\[\frac{\omega_n^2}{\sqrt{(2\zeta\omega_n\omega_b)^2+(\omega_n^2-\omega_b^2)^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\]
解得
\[\omega_b=\omega_n\sqrt{(1-2\zeta^2)+\sqrt{2-4\zeta^2+4\zeta^4}}\]
再由 \(0.358\leqslant\zeta\leqslant0.591\) 和 \(\omega_n=10\),解得
\[11.60\leqslant\omega_b\leqslant14.11\]
MATLAB 验证:令 \(\omega_n=10,\zeta=0.385\) 或 \(\zeta=0.591\),分别作出系统开环对数频率特性,如图 5-60 所示;系统闭环对数频率特性,如图 5-61 所示;系统单位阶跃响应特性,如
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