\[\Phi(s)=\frac{s+1}{s^2+s+1}\]
令 \(G(s)\) 为等效单位反馈系统开环传递函数,有
\[G(s)=\frac{\Phi(s)}{1-\Phi(s)}=\frac{s+1}{s^2}\]
可见,系统为Ⅱ型系统。因为 \(r(t)=1+t\),故系统在输入作用下的稳态误差 \(e_{ssr}(\infty)=0\)。
在图3-16中,令 \(r(t)=0\),系统结构图可画成图3-17形式。由图可知,扰动对输出无影响,因此有 \(e_{ssn}(\infty)=0\)。实际上,本例满足扰动全补偿条件,系统可以完全消除任何形式的可量测扰动对输出的影响。
因而,系统在 \(r(t)\) 和 \(n(t)\) 同时作用下的稳态误差为
\[e_{ss}(\infty)=|e_{ssr}(\infty)|+|e_{ssn}(\infty)|=0\]
3-24 控制系统结构图如图3-18所示,误差 \(E(s)\triangleq R(s)-C(s)\)。设输入信号为 \(r(t)=at\),其中 \(a\) 为任意正常数,试证明适当选择 \(K_i\) 的值,可使系统对斜坡输入的稳态误差为零。已知系统参数 \(K,T,K_i\) 均为正常数。
图3-17 扰动作用下系统结构图
图3-18 控制系统结构图
证明 系统的闭环传递函数为
\[\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{K(K_is+1)}{s(Ts+1)+K}\]
因此
\[C(s)=\frac{K(K_is+1)}{Ts^2+s+K}R(s)\]
显然,不论 \(K_i\) 取何值,闭环系统都是稳定的。
\[E(s)=R(s)-C(s)=s\left(\frac{Ts+1-KK_i}{Ts^2+s+K}\right)R(s)\]
代入 \(R(s)=a/s^2\),由终值定理得稳态误差的表达式为
\[e_{ss}(\infty)=\lim_{s\to0}sE(s)=\frac{a(1-KK_i)}{K}\]
只要令 \(1-KK_i=0\),即选取
\[K_i=\frac{1}{K}\]
必可使系统对斜坡输入的稳态误差为零。证毕。
3-25 已知单位反馈系统的开环传递函数如下:\(G(s)=\dfrac{K}{s(0.1s+1)(0.5s+1)}\),试求位置误差系数 \(K_p\)、速度误差系数 \(K_v\) 和加速度误差系数 \(K_a\),并确定输入 \(r(t)=2t\) 时,系统的稳态误差 \(e_{ss}(\infty)\)。