9-5 已知系统传递函数 \(G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{s^{2}+6s+8}{s^{3}+5s^{2}+7s+3}\)，试利用传递函数分解法求系统的标准型实现，并画出系统的状态变量图。
解 将系统的传递函数分解为部分分式
\[G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{(s+1)^{2}}+\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{s+1}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s+3}\]
可得并联分解的表达形式为
\[Y(s)=\left[\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{(s+1)^{2}}+\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{s+1}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s+3}\right]U(s)\]
令
\[X_{1}(s)=\frac{1}{(s+1)^{2}}U(s)=\frac{1}{s+1}X_{2}(s)\]
\[X_{2}(s)=\frac{1}{s+1}U(s),\quad X_{3}(s)=\frac{1}{s+3}U(s)\]
则
\[
\begin{cases}
\dot{x}_1=-x_1+x_2\\
\dot{x}_2=-x_2+u\\
\dot{x}_3=-3x_3+u\\
y=\dfrac{3}{2}x_1+\dfrac{5}{4}x_2-\dfrac{1}{4}x_3
\end{cases}
\]
写成向量-矩阵形式，可得系统的约当标准型实现为
\[\dot{\boldsymbol{x}}=\begin{bmatrix}-1 & 1 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & -3\end{bmatrix}\boldsymbol{x}+\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}u,\quad y=\begin{bmatrix}\dfrac{3}{2} & \dfrac{5}{4} & -\dfrac{1}{4}\end{bmatrix}\boldsymbol{x}\]
系统的状态变量图如图 9-6 所示。
图 9-6 系统约当标准型实现的状态变量图
最后，利用 MATLAB 的分式分解函数 residue 不难验证上述计算结果的正确性。
MATLAB 程序：exe905.m
num=[1 6 8];den=[1 5 7 3];[r,p,k]=residue(num,den)