图 8-5 系统(4)的相轨迹(MATLAB)
图 8-6 系统(5)的相轨迹(MATLAB)
(3) \(\ddot{x}+\dot{x}^2+x=0\)；(4) \(\begin{cases}\dot{x}_1=x_1+x_2\\\dot{x}_2=2x_1+x_2\end{cases}\)。
图 8-7 系统(6)的相轨迹(MATLAB)
解 (1) 可得
\[\dot{x}\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}-\dot{x}+1=0\]
令 \(\dfrac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}=\alpha\) 为相轨迹切线处斜率，得等倾线方程为
\[\dot{x}=\frac{1}{1-\alpha}\]
可见，等倾线为一簇水平线。\(\alpha\to1\) 时，\(\dot{x}\to\infty\)，说明相平面上下无穷远处的相轨迹斜率为1，而当 \(\alpha\to\infty\) 时，\(\dot{x}\to0\)，表明相轨迹垂直穿过 \(x\) 轴。
表8-1给出了不同 \(\alpha\) 值下等倾线的斜率。
表 8-1 不同 \(\alpha\) 值下等倾线的斜率
| \(\alpha\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\dfrac{1}{1-\alpha}\) | \(\dfrac{1}{4}\) | \(\dfrac{1}{3}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(1\) | \(\infty\) | \(-1\) | \(0\) |
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